Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por A1(t) = -4t^2 + 8t e o do segundo, por A2(t) = -1.8 t^3 + 5.4 t, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois analgésicos diferentes e como eles funcionam ao longo do tempo. A gente quer descobrir, especificamente para o segundo analgésico, em que hora ele vai proporcionar o alívio máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos de máximo e mínimo nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que descreve o alívio proporcionado pelo segundo analgésico:
Aqui, representa o número de horas após a ingestão do medicamento.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde o alívio é máximo, precisamos descobrir onde a função atinge seu valor mais alto. Isso acontece onde a derivada da função em relação ao tempo ( ) é igual a zero, ou seja, onde a inclinação da curva é plana.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Usando as regras de derivação:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de que faz com que a derivada seja zero:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -5,4:

Passo 6

Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos e ficamos com:
Então, após 1 hora, a derivada é zero, indicando um ponto crítico.

Passo 7

Para confirmar que esse ponto é de máximo, podemos verificar a segunda derivada:
Ao substituir :
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um ponto de máximo.

Resposta

O segundo analgésico proporcionará um alívio máximo 1 hora após ser tomado.

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