Em dois anos consecutivos, foi feita uma pesquisa de mercado sobre a preferência de donas de casa por determinada marca de certo produto. Para essa pesquisa foram utilizadas duas amostras independentes de 400 elementos. No primeiro ano, 33 % das donas de casa preferiram a marca em estudo e, no ano seguinte, essa porcentagem era 29 %. Considerando um nível de confiança de 5 %, pode-se afirmar que houve mudança na preferência das donas de casa?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão tá pedindo. Ela fez duas pesquisas independentes com 400 donas de casa cada, em anos consecutivos, e descobriu que no primeiro ano 33 % preferiram a marca e, no segundo, 29 %. Queremos saber, com 95 % de confiança (nível de significância de 5 %), se essa diferença de preferência é estatisticamente significativa.
Conteúdo: teste de hipótese para diferença entre duas proporções usando aproximação normal. Vamos precisar das fórmulas de proporções amostrais, proporção combinada (pooled) e estatística Z.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
  • H₀ (hipótese nula): não houve mudança na preferência, ou seja, p₁ = p₂.
  • H₁ (alternativa): houve mudança, ou seja, p₁ ≠ p₂.
    Aqui é teste bilateral, porque “mudança” pode ser pra mais ou pra menos.

Passo 3

Calcular as proporções e os números de “sucesso” em cada ano:
  • n₁ = 400, p̂₁ = 0,33 ⇒ x₁ = 0,33 × 400 = 132 donas de casa.
  • n₂ = 400, p̂₂ = 0,29 ⇒ x₂ = 0,29 × 400 = 116 donas de casa.

Passo 4

Montar a proporção combinada (pooled), que é a estimativa única de p se H₀ for verdadeira:
hat p = x₁ + x₂n₁ + n₂ = 132 + 116400 + 400 = 248800 = 0,31

Passo 5

Calcular o erro padrão da diferença de proporções sob H₀:
SE = raizhat p,(1 - hat p),l(1n₁ + 1n₂r) = raiz0,31 times 0,69 times l(1400 + 1400r) = raiz0,2139 times 0,005 approx 0,0327

Passo 6

Calcular a estatística de teste Z:
Z = p̂₁ - p̂₂SE = 0,33 - 0,290,0327 approx 0,040,0327 approx 1,22

Passo 7

Determinar o valor crítico para α = 0,05 em teste bilateral.
  • Z crítico = ±1,96.
    Como |1,22| < 1,96, não caímos na região de rejeição de H₀.

Resposta

Não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5 %, para afirmar que houve mudança na preferência das donas de casa.

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