Dois apaixonados A e B, estão separados por 2000 m de distância. Num certo instante t0 = 0, A decide ir ter com B e B também decide ir ter com A. A parte do repouso e segue em MRUV com a = 2 m/s². B sai em MRU no sentido oposto, com 10 m/s.
a) Em que distância (em relação à posição inicial de A) eles se cruzam?
b) Quais são as suas velocidades nestes momentos?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
  • Dois apaixonados A e B estão separados por 2000\\ \text{m}.\n
  • No instante inicial t_0=0:\n
    • A parte do repouso e faz um movimento uniformemente variado (MRUV) com aceleração \;a=2\\ \text{m/s}^2\n
    • B parte em movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade \;10\\ \text{m/s} no sentido oposto ao de A\n
  • Perguntas:\n
    a) Em que distância (em relação à posição inicial de A) eles se cruzam?\n
    b) Quais são as suas velocidades nesse instante de encontro?\n

Passo 2

Escolha de referência e fórmulas básicas (aulas rápidas).\n
  • Vou escolher o sistema de referência com origem na posição inicial de A e eixo positivo apontando na direção de B.\n
  • Fórmula do MRUV (posição em função do tempo): x(t)=x_0+v_0t+\tfrac{1}{2}at^2,
onde \;x(t) é a posição no tempo t, \;x_0 é a posição inicial, \;v_0 é a velocidade inicial e \;a é a aceleração.\n
  • Fórmula do MRU (posição em função do tempo): x(t)=x_0+v\,t,
onde \;v é a velocidade constante.\n
  • Aplicando ao nosso problema:\n
    • Para A: x_{A0}=0, v_{A0}=0, a=2\\ \text{m/s}^2. Então x_A(t)=0+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot t^2 = t^2.\n
    • Para B: x_{B0}=2000\\ \text{m}. Como B se move em direção a A, sua velocidade no eixo que escolhemos é negativa: v_B=-10\\ \text{m/s}. Então x_B(t)=2000-10t.

Passo 3

Condição do encontro e equação para achar o tempo.\n
  • Eles se cruzam quando as posições são iguais: x_A(t)=x_B(t).\n
  • Substituindo as expressões: t^2 = 2000 - 10t.\n
  • Rearranjando para formar uma equação quadrática: t^2 + 10t - 2000 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática (passo-a-passo da técnica).\n
  • Uma equação quadrática geral é \;at^2+bt+c=0. Suas raízes são dadas por t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^2-4ac é o discriminante.\n
  • Aqui a=1, b=10, c=-2000. Calcule o discriminante: \Delta = 10^2 - 4\cdot1\cdot(-2000) = 100 + 8000 = 8100.\n
  • A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{8100}=90. Então as soluções são t=\frac{-10\pm 90}{2}.\n
  • Isso dá duas raízes: \;t_1=\dfrac{-10+90}{2}=\dfrac{80}{2}=40\\ \text{s} e \;t_2=\dfrac{-10-90}{2}=\dfrac{-100}{2}=-50\\ \text{s}.\n
  • Descartamos t_2 porque representa um tempo anterior ao início ( t<0). Portanto o encontro ocorre em \;t=40\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular a posição do encontro (distância a partir da posição inicial de A).\n
  • Use a expressão de A (mais simples): x_A(t)=t^2.\n
  • Em t=40\\ \text{s}: x_A(40)=40^2=1600\\ \text{m}.\n
  • Conferência rápida usando B: x_B(40)=2000-10\cdot 40=2000-400=1600\\ \text{m},
o que confirma o resultado. Portanto eles se cruzam a 1600\\ \text{m} da posição inicial de A.

Passo 6

Calcular as velocidades de A e B no instante do encontro e interpretar.\n
  • Velocidade de A no MRUV: v_A(t)=v_{A0}+a t.\n
  • Como v_{A0}=0 e a=2\\ \text{m/s}^2, em t=40\\ \text{s}: v_A(40)=0+2\cdot 40=80\\ \text{m/s}.\n
  • Velocidade de B é constante (MRU): v_B=-10\\ \text{m/s},
ou seja, magnitude 10\\ \text{m/s} no sentido contrário ao eixo positivo (movendo-se em direção a A).\n
  • Interpretação prática: no encontro A tem velocidade de 80\\ \text{m/s} na direção de B e B tem velocidade de 10\\ \text{m/s} na direção de A.

Resposta

1600\\ \text{m}\n
v_A=80\\ \text{m/s} (na direção de B)\n
v_B=10\\ \text{m/s} (na direção de A)

Exercícios relacionados