A equação do movimento de uma partícula é
. [SI].
determinar:
a) A velocidade média em
.
b) A equação da velocidade desta partícula.
c) A aceleração da partícula no instante
.
determinar:
a) A velocidade média em
b) A equação da velocidade desta partícula.
c) A aceleração da partícula no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com unidades do SI (ou seja,
em metros e
em segundos). O enunciado pede três coisas:
a) a velocidade média da partícula no intervalo de tempo s;
b) a equação da velocidade (a velocidade instantânea como função de );
c) a aceleração da partícula no instante s.
a) a velocidade média da partícula no intervalo de tempo
b) a equação da velocidade (a velocidade instantânea como função de
c) a aceleração da partícula no instante
Também são dados os instantes específicos
,
e
. Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Cálculo da velocidade média no intervalo
.
Primeiro, a definição: a velocidade média
em um intervalo
é a variação da posição dividida pela variação do tempo:
Isto é a inclinação da reta secante que liga os pontos
e
. As unidades ficam em
.
Agora aplico ao nosso caso com
e
. Calculo
e
:
A diferença é
Uso a propriedade dos logaritmos
, então
Portanto a velocidade média é
Para ter uma noção numérica,
, então
Passo 3
Obter a equação da velocidade instantânea
.
Conceito: velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Aqui
. Vou derivar termo a termo. A derivada da constante
é
. Para
uso a regra da cadeia: se
então
. Como
, obtemos
Logo a velocidade é
Explicando de forma prática: conforme
aumenta,
diminui porque
cresce no denominador; isto mostra que a partícula está desacelerando ao longo do tempo (velocidade positiva, mas decrescente).
Passo 4
Cálculo da aceleração e avaliação em
s.
Definição: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Temos
. Uso a regra do potência/derivada composta:
pois
. Assim
Agora avalio em
:
Em valor decimal,
. O sinal negativo indica que a aceleração é contrária à variação positiva da posição (ou seja, a velocidade está diminuindo).
Passo 5
Pequena checagem e intuição (útil para a prova).
Calculo rápido das velocidades instantâneas em
e
para comparar com a velocidade média:
A velocidade média
está entre esses valores, o que faz sentido porque
é decrescente no intervalo e a média deve ficar entre
e
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)