A equação do movimento de uma partícula é x=2+\ln (t+1). [SI].
determinar:
a) A velocidade média em 2 \leqslant t \leqslant 5 s.
b) A equação da velocidade desta partícula.
c) A aceleração da partícula no instante t=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
x(t)=2+\ln(t+1)
com unidades do SI (ou seja, x em metros e t em segundos). O enunciado pede três coisas:
a) a velocidade média da partícula no intervalo de tempo 2\leqslant t\leqslant 5 s;
b) a equação da velocidade (a velocidade instantânea como função de t);
c) a aceleração da partícula no instante t=10 s.
Também são dados os instantes específicos t=2, t=5 e t=10. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Cálculo da velocidade média no intervalo 2\leqslant t\leqslant 5.
Primeiro, a definição: a velocidade média \overline{v} em um intervalo [t_1,t_2] é a variação da posição dividida pela variação do tempo:
\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
Isto é a inclinação da reta secante que liga os pontos \big(t_1,x(t_1)\big) e \big(t_2,x(t_2)\big). As unidades ficam em \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Agora aplico ao nosso caso com t_1=2 e t_2=5. Calculo x(5) e x(2):
x(5)=2+\ln(5+1)=2+\ln 6,
x(2)=2+\ln(2+1)=2+\ln 3.
A diferença é
x(5)-x(2)=(2+\ln 6)-(2+\ln 3)=\ln 6-\ln 3.
Uso a propriedade dos logaritmos \ln a-\ln b=\ln\!\left(\frac{a}{b}\right), então
x(5)-x(2)=\ln\!\left(\frac{6}{3}\right)=\ln 2.
Portanto a velocidade média é
\overline{v}=\frac{\ln 2}{5-2}=\frac{\ln 2}{3}.
Para ter uma noção numérica, \ln 2\approx 0{,}6931, então
\overline{v}\approx\frac{0{,}6931}{3}\approx 0{,}2310\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Passo 3

Obter a equação da velocidade instantânea v(t).
Conceito: velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Aqui x(t)=2+\ln(t+1). Vou derivar termo a termo. A derivada da constante 2 é 0. Para \ln(t+1) uso a regra da cadeia: se u(t)=t+1 então \frac{d}{dt}\ln u=\frac{u'}{u}. Como u'(t)=1, obtemos
\frac{d}{dt}\ln(t+1)=\frac{1}{t+1}.
Logo a velocidade é
v(t)=\frac{1}{t+1}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Explicando de forma prática: conforme t aumenta, v(t) diminui porque t+1 cresce no denominador; isto mostra que a partícula está desacelerando ao longo do tempo (velocidade positiva, mas decrescente).

Passo 4

Cálculo da aceleração e avaliação em t=10 s.
Definição: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Temos v(t)=(t+1)^{-1}. Uso a regra do potência/derivada composta:
\frac{d}{dt}(t+1)^{-1}=-1\cdot (t+1)^{-2}\cdot\frac{d}{dt}(t+1)=- (t+1)^{-2},
pois \frac{d}{dt}(t+1)=1. Assim
a(t)=-\frac{1}{(t+1)^2}\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
Agora avalio em t=10:
a(10)=-\frac{1}{(10+1)^2}=-\frac{1}{11^2}=-\frac{1}{121}.
Em valor decimal, -\tfrac{1}{121}\approx -0{,}00826\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}. O sinal negativo indica que a aceleração é contrária à variação positiva da posição (ou seja, a velocidade está diminuindo).

Passo 5

Pequena checagem e intuição (útil para a prova).
Calculo rápido das velocidades instantâneas em t=2 e t=5 para comparar com a velocidade média:
v(2)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}\approx 0{,}3333\\ \text{m}\,\text{s}^{-1},
v(5)=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}\approx 0{,}1667\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
A velocidade média \approx 0{,}2310\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} está entre esses valores, o que faz sentido porque v(t) é decrescente no intervalo e a média deve ficar entre v(2) e v(5).

Resposta

a) \overline{v}=\dfrac{\ln 2}{3}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\approx 0{,}2310\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
b) v(t)=\dfrac{1}{t+1}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
c) a(10)=-\dfrac{1}{121}\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\approx -0{,}00826\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

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