Dois patinadores, um de 78 kg e outro de 43 kg , estão em uma pista de gelo e seguram as extremidades de uma vara de 10 m de comprimento e massa desprezível. Os patinadores se puxam ao longo da vara até se encontrarem. Que distância, em m, percorre o patinador de massa 43 kg ?
Obs: Resposta com 2 (dois) algarismos após a vírgula. Ex: 6,79
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa do primeiro patinador: m_1 = 78\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do segundo patinador: m_2 = 43\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento da vara (distância inicial entre eles): L = 10\\ \mathrm{m}.
  • A vara tem massa desprezível; os patinadores puxam-se ao longo da vara até se encontrarem.
Pergunta: Que distância, em m, percorre o patinador de massa 43\\ \mathrm{kg}?

Passo 2

Vamos entender a ferramenta que usamos: o centro de massa (CM). Para duas partículas unidimensionais com massas m_1 e m_2 em posições x_1 e x_2, o CM é dado por
x_{\mathrm{cm}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}.
Explicando cada símbolo: x_{\mathrm{cm}} é a posição do centro de massa; m_1 e m_2 são as massas; x_1 e x_2 são as posições (medidas numa mesma direção). Esse valor é uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
Por que isso ajuda aqui? Se não há forças externas na direção horizontal (a pista de gelo é idealizada e a vara é interna ao sistema), o centro de massa do sistema não muda de posição enquanto eles se movem. Logo, quando os dois se encontram, esse ponto de encontro terá que estar na posição do centro de massa inicial.

Passo 3

Escolhemos um eixo para medir posições: coloca-se a origem na posição inicial do patinador de massa 78\\ \mathrm{kg} (ou seja, sua mão na extremidade esquerda da vara). Assim:
  • x_1 = 0 (posição inicial de m_1=78).
  • x_2 = L = 10 (posição inicial de m_2=43).
Agora calculamos a posição inicial do centro de massa:
x_{\mathrm{cm}} = \frac{78\cdot 0 + 43\cdot 10}{78 + 43} = \frac{430}{121}.
Se quiser um valor aproximado, isso é aproximadamente \,3,553719\\ \mathrm{m} medidos a partir da extremidade onde estava m_1.

Passo 4

Quando os patinadores se encontram, eles estarão na posição x_{\mathrm{cm}} (porque o CM não se move). A distância percorrida pelo patinador de massa 43\\ \mathrm{kg} é a diferença entre sua posição inicial x_2 = 10 e x_{\mathrm{cm}}:
d = x_2 - x_{\mathrm{cm}} = 10 - \frac{430}{121} = \frac{1210 - 430}{121} = \frac{780}{121}.
Agora transformamos em número decimal e arredondamos para duas casas decimais. Calculando,
\frac{780}{121} \approx 6,44628099\ldots
Arredondando para duas casas decimais (observe o terceiro algarismo 6 que leva a aumentar a segunda casa), obtemos 6,45\\ \mathrm{m}.

Resposta

6,45

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