A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de \mathbf{1} rad/s. No instante inicial \mathbf{t}=\mathbf{0} o oscilador é posto em movimento com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{0}}=\mathbf{5 ~ cm} / \mathbf{s}, estando na posição \mathbf{x}_{\mathbf{0}}=\mathbf{0}. Encontre \mathbf{x}(\mathbf{t}) e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos:
\gamma=0,1 \mathrm{~s}^{-1};

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele fornece:
  • Pede encontrar a posição x(t) de um oscilador amortecido a partir de t=0, nas duas situações com \gamma=0 e \gamma=1\\ \mathrm{s}^{-1}, e esboçar o gráfico de x(t) em cada caso.
  • Dados fornecidos:
    • frequência angular natural \omega_0 = 1\\ \mathrm{rad/s}.
    • posição inicial x(0)=x_0=0.
    • velocidade inicial x'(0)=v_0=5\\ \mathrm{cm/s}.
    • dois casos para o coeficiente de amortecimento: \gamma=0 e \gamma=1\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Observação sobre notação (importante para o método): vou usar a convenção standard de oscilador linear amortecido descrita pela equação
x''(t) + 2\gamma\,x'(t) + \omega_0^2\,x(t) = 0.
Escolhi essa forma porque é a mais usada em física (onde o termo em 2\gamma aparece como parâmetro de amortecimento) e porque, com ela, o caso \gamma=\omega_0 corresponde ao amortecimento crítico — isso será útil no caso \gamma=1 com \omega_0=1. Se alguém usar outra convenção (por exemplo x''+\gamma x'+\omega_0^2 x=0) os resultados algébricos mudam de forma, mas a ideia física permanece; aqui sigo a convenção acima para resolver.

Passo 2

Escrevendo a equação e as soluções gerais — ideia e fórmulas úteis (aulas curtas):
  • Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
x'' + 2\gamma x' + \omega_0^2 x = 0.
  • Característica associada: r^2 + 2\gamma r + \omega_0^2 = 0. As raízes são
r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}.
  • Três regimes (explicação simples):
    • Se \gamma<\omega_0: raízes complexas → movimento subamortecido (oscilações com amplitude decrescente). Solução geral:
    x(t)=e^{-\gamma t}\big(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\big),onde \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} é a frequência angular das oscilações amortecidas.
    • Se \gamma=\omega_0: raízes iguais → amortecimento crítico (sem oscilações, decai o mais rápido possível sem oscilar). Solução geral:
    x(t)=(C + D t)e^{-\gamma t}.
    • Se \gamma>\omega_0: raízes reais distintas → sobreamortecido (sem oscilações, decai lentamente).
  • Como aplicar condições iniciais: sabemos x(0)=x_0 e x'(0)=v_0. Plugamos t=0 nas soluções gerais para achar as constantes A,B (ou C,D).

Passo 3

Caso 1: \gamma=0 (sem amortecimento) — desenvolvimento passo a passo:
  • Para \gamma=0 a equação vira a do oscilador harmônico simples:
x'' + \omega_0^2 x = 0.
  • Solução geral conhecida (e fácil de deduzir):
x(t)=A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t).
  • Aplicando as condições iniciais:
    • x(0)=x_0 = A\cos0 + B\sin0 = A. Assim A=x_0=0.
    • A velocidade x'(t) = -A\omega_0\sin(\omega_0 t) + B\omega_0\cos(\omega_0 t). Em t=0:
    x'(0)=v_0 = B\omega_0 \Rightarrow B=\frac{v_0}{\omega_0}.
  • Substituindo os números: \omega_0=1\\ \mathrm{rad/s}, v_0=5\\ \mathrm{cm/s}, x_0=0. Temos
x(t)=\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)=\frac{5}{1}\sin(t)=5\sin(t)\\ \text{(cm)}.
  • Interpretação e gráfico (esboço verbal/amigável):
    • É uma senoide perfeita com amplitude 5\\ \mathrm{cm} e período T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\\ \mathrm{s}.
    • Começa em x(0)=0 e sobe inicialmente porque a velocidade inicial é positiva.
    • Gráfico: uma oscilação contínua e permanente (não há decaimento da amplitude).

Passo 4

Caso 2: \gamma=1\\ \mathrm{s}^{-1} (amortecimento crítico, porque \gamma=\omega_0=1) — desenvolvimento passo a passo:
  • Como \gamma=\omega_0, estamos no caso crítico; a solução geral é
x(t)=(C + D t)e^{-\gamma t}.
  • Aplicando as condições iniciais:
    • Em t=0: x(0)=x_0 = (C + D\cdot 0)e^{0} = C. Logo C=x_0=0.
    • Derivando para obter a velocidade:
    x'(t) = \frac{d}{dt}\big((C+Dt)e^{-\gamma t}\big)= (D)e^{-\gamma t} + (C+Dt)(-\,\gamma)e^{-\gamma t}.Avaliando em t=0: x'(0)=v_0 = D - \gamma C.Com C=0 isso dá D=v_0.
  • Com C=0 e D=v_0=5\\ \mathrm{cm/s} e \gamma=1, obtemos
x(t)=5\,t\,e^{-t}\\ \text{(cm)}.
  • Verificações rápidas (importante para prova): em t=0 temos x(0)=0. A velocidade inicial x'(0)=5 obtém-se porque x'(t)=5e^{-t}(1-t) e em t=0 isso vale 5.
  • Interpretação física e gráfico:
    • Não há oscilações: a função cresce inicialmente (por estar partindo de velocidade positiva) até um máximo, depois decai para zero quando o fator exponencial domina.
    • Encontrando o tempo do pico: derivando x(t) e igualando a zero:
    x'(t)=5e^{-t}(1-t)=0 \Rightarrow t=1\\ \mathrm{s}.O máximo ocorre em t=1 e seu valor é x(1)=5\cdot 1 \cdot e^{-1}=\frac{5}{e}\approx 1,84\\ \mathrm{cm}.
    • Gráfico: sobe suavemente desde 0 até \approx1,84\\ \mathrm{cm} em t=1, depois decai exponencialmente a 0 sem oscilar.

Passo 5

Resumo das fórmulas e dicas para prova (aula rápida e prática):
  • Lembre-se sempre da forma padrão da equação e das três soluções (subamortecido com cosseno/seno multiplicados por e^{-\gamma t}; crítico com (C+Dt)e^{-\gamma t}; sobreamortecido com combinação de expoentes reais).
  • Para aplicar condições iniciais: coloque t=0 nas expressões para x e x' e resolva o sistema para as constantes.
  • Sempre verifique limites simples:
    • Se \gamma=0 recuperar a solução harmônica simples.
    • Se \gamma=\omega_0 usar a forma crítica e checar se x'(0) bate com os parâmetros.
  • No caso crítico, é útil derivar para achar o tempo do máximo (se necessário) como fiz acima; isso costuma aparecer em questões de “qual o pico?” ou “qual o máximo deslocamento?”.

Resposta

\gamma=0:\\ x(t)=5\sin(t)\\ \text{cm}.
\gamma=1\\ \mathrm{s}^{-1}:\\ x(t)=5\,t\,e^{-t}\\ \text{cm}.

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