A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de
rad/s. No instante inicial
o oscilador é posto em movimento com velocidade
, estando na posição
. Encontre
e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele fornece:
- Pede encontrar a posição
de um oscilador amortecido a partir de , nas duas situações com e , e esboçar o gráfico de em cada caso. - Dados fornecidos:
- frequência angular natural
. - posição inicial
. - velocidade inicial
. - dois casos para o coeficiente de amortecimento:
e .
- frequência angular natural
- Observação sobre notação (importante para o método): vou usar a convenção standard de oscilador linear amortecido descrita pela equação
Escolhi essa forma porque é a mais usada em física (onde o termo em
aparece como parâmetro de amortecimento) e porque, com ela, o caso
corresponde ao amortecimento crítico — isso será útil no caso
com
. Se alguém usar outra convenção (por exemplo
) os resultados algébricos mudam de forma, mas a ideia física permanece; aqui sigo a convenção acima para resolver.
Passo 2
Escrevendo a equação e as soluções gerais — ideia e fórmulas úteis (aulas curtas):
- Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
- Característica associada:
. As raízes são
- Três regimes (explicação simples):
- Se
: raízes complexas → movimento subamortecido (oscilações com amplitude decrescente). Solução geral:
onde é a frequência angular das oscilações amortecidas. - Se
: raízes iguais → amortecimento crítico (sem oscilações, decai o mais rápido possível sem oscilar). Solução geral:
- Se
: raízes reais distintas → sobreamortecido (sem oscilações, decai lentamente).
- Se
- Como aplicar condições iniciais: sabemos
e . Plugamos nas soluções gerais para achar as constantes (ou ).
Passo 3
Caso 1:
(sem amortecimento) — desenvolvimento passo a passo:
- Para
a equação vira a do oscilador harmônico simples:
- Solução geral conhecida (e fácil de deduzir):
- Aplicando as condições iniciais:
-
. Assim . - A velocidade
. Em :
-
- Substituindo os números:
, , . Temos
- Interpretação e gráfico (esboço verbal/amigável):
- É uma senoide perfeita com amplitude
e período . - Começa em
e sobe inicialmente porque a velocidade inicial é positiva. - Gráfico: uma oscilação contínua e permanente (não há decaimento da amplitude).
- É uma senoide perfeita com amplitude
Passo 4
Caso 2:
(amortecimento crítico, porque
) — desenvolvimento passo a passo:
- Como
, estamos no caso crítico; a solução geral é
- Aplicando as condições iniciais:
- Em
: . Logo . - Derivando para obter a velocidade:
Avaliando em : Com isso dá . - Em
- Com
e e , obtemos
- Verificações rápidas (importante para prova): em
temos . A velocidade inicial obtém-se porque e em isso vale . - Interpretação física e gráfico:
- Não há oscilações: a função cresce inicialmente (por estar partindo de velocidade positiva) até um máximo, depois decai para zero quando o fator exponencial domina.
- Encontrando o tempo do pico: derivando
e igualando a zero:
O máximo ocorre em e seu valor é - Gráfico: sobe suavemente desde 0 até
em , depois decai exponencialmente a 0 sem oscilar.
Passo 5
Resumo das fórmulas e dicas para prova (aula rápida e prática):
- Lembre-se sempre da forma padrão da equação e das três soluções (subamortecido com cosseno/seno multiplicados por
; crítico com ; sobreamortecido com combinação de expoentes reais). - Para aplicar condições iniciais: coloque
nas expressões para e e resolva o sistema para as constantes. - Sempre verifique limites simples:
- Se
recuperar a solução harmônica simples. - Se
usar a forma crítica e checar se bate com os parâmetros.
- Se
- No caso crítico, é útil derivar para achar o tempo do máximo (se necessário) como fiz acima; isso costuma aparecer em questões de “qual o pico?” ou “qual o máximo deslocamento?”.