Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os corredores cruzam-se duas vezes, a primeira vez a 800m de A e a segunda vez a 500m de B. Qual o comprimento da pista em metros?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois atletas correndo em uma pista reta, partindo de extremos opostos, A e B, ao mesmo tempo. Um corre do A para o B e volta para A, enquanto o outro faz o contrário. Eles se cruzam duas vezes: na primeira vez a 800 metros de A e na segunda a 500 metros de B. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento total da pista.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniforme e velocidade relativa. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o comprimento da pista de $ L $ metros. Isso significa que A e B estão separados por $ L $ metros.
Passo 3
Vamos chamar as velocidades dos corredores de $ v_1 $ e $ v_2 $ metros por segundo. Não sabemos qual corredor está associado a qual velocidade, mas isso não importa para o cálculo final.
Passo 4
Quando os corredores se encontram pela primeira vez a 800 metros de A, isso significa que o corredor que partiu de A percorreu 800 metros, enquanto o corredor que partiu de B percorreu $ L - 800 $ metros.
Como eles partiram ao mesmo tempo e estão se movendo em direção um ao outro, podemos usar a relação de tempos iguais:
Passo 5
Da mesma forma, quando eles se encontram pela segunda vez a 500 metros de B, isso significa que:
- O corredor que foi de A para B e voltou para A percorreu $ L + (L - 500) = 2L - 500 $ metros.
- O corredor que foi de B para A e voltou para B percorreu $ L + 500 $ metros.
Novamente, o tempo gasto por ambos é o mesmo, então:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ v_1 $ e $ v_2 $). Vamos escrever as duas equações:
- $ \frac{800}{v_1} = \frac{L - 800}{v_2} $
- $ \frac{2L - 500}{v_1} = \frac{L + 500}{v_2} $
Podemos reescrever essas equações para facilitar a resolução:
- $ 800v_2 = (L - 800)v_1 $
- $ (2L - 500)v_2 = (L + 500)v_1 $
Passo 7
Agora, vamos expressar $ v_1 $ em termos de $ v_2 $ usando a primeira equação:
Vamos substituir essa expressão na segunda equação:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ L - 800 $:
Passo 9
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 10
Subtraindo $ 800L + 400000 $ de ambos os lados:
Passo 11
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis: $ L = 0 $ (o que não faz sentido no contexto) ou $ 2L - 2900 = 0 $.
Resolvendo para $ L $:
Resposta
O comprimento da pista é de 1.450 metros.