Dois blocos idênticos, cada um com uma massa
, estão conectados por uma corda leve que passa por uma polia sem atrito de raio
e inércia rotacional
(Fig. 9.55). A corda não desliza sobre a polia e não se sabe se existe atrito entre o plano e o bloco que desliza. Quando este sistema é liberado, observa-se que a polia gira segundo um ângulo
em um tempo
e que a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual é a aceleração angular da polia? (b) Qual é a aceleração dos blocos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos idênticos, cada um com massa
, ligados por uma corda que passa por uma polia sem atrito com raio
e inércia rotacional
. Quando liberamos o sistema, a polia gira um certo ângulo
em um tempo
, e os blocos têm uma aceleração constante. Nosso objetivo é encontrar:
a) A aceleração angular da polia.
b) A aceleração dos blocos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força, aceleração, torque e como eles se relacionam em sistemas de polias. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam nos blocos. Cada bloco tem uma massa
, então o peso de cada um é
, onde
é a aceleração da gravidade. A corda exerce uma tensão
em cada bloco. Considerando que os blocos têm aceleração
, podemos escrever a segunda lei de Newton para cada bloco:
Para o bloco que desce:
Para o bloco que sobe:
Note que um bloco desce enquanto o outro sobe, mas a aceleração
é a mesma para ambos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a polia. A polia tem uma inércia rotacional
e um raio
. A tensão nas cordas gera um torque sobre a polia. O torque total
na polia é dado pela diferença entre as tensões nas duas cordas multiplicada pelo raio:
Mas como os blocos são idênticos e a polia é sem atrito, as duas tensões são iguais, então o torque total é zero. No entanto, isso não faz sentido se a polia está girando, então precisamos revisar nossa abordagem.
Na verdade, as tensões são as mesmas, mas a relação entre a aceleração linear dos blocos e a aceleração angular da polia está ligada pela equação:
Onde
é a aceleração angular que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos considerar a rotação da polia. A segunda lei de Newton para a rotação nos diz que o torque total é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
Substituindo o torque que calculamos:
Como
, podemos relacionar as duas equações.
Passo 5
Vamos resolver as equações para encontrar
e
. Assumindo que um bloco desce e o outro sobe, e que as tensões são diferentes, temos:
Somando essas duas equações:
Agora, substituindo na equação do torque:
E lembrando que
, substituímos:
Podemos cancelar
dos dois lados (desde que
):
Isso nos dá uma relação entre a massa, o raio e a inércia da polia.
Passo 6
Para encontrar a aceleração angular
, vamos reorganizar a equação:
Então, a aceleração angular da polia é:
Resposta
a) A aceleração angular da polia é
.
b) A aceleração dos blocos é
.