Dois blocos idênticos, cada um com uma massa M, estão conectados por uma corda leve que passa por uma polia sem atrito de raio R e inércia rotacional I (Fig. 9.55). A corda não desliza sobre a polia e não se sabe se existe atrito entre o plano e o bloco que desliza. Quando este sistema é liberado, observa-se que a polia gira segundo um ângulo theta em um tempo t e que a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual é a aceleração angular da polia? (b) Qual é a aceleração dos blocos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos idênticos, cada um com massa M, ligados por uma corda que passa por uma polia sem atrito com raio R e inércia rotacional I. Quando liberamos o sistema, a polia gira um certo ângulo theta em um tempo t, e os blocos têm uma aceleração constante. Nosso objetivo é encontrar:
a) A aceleração angular da polia.
b) A aceleração dos blocos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força, aceleração, torque e como eles se relacionam em sistemas de polias. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam nos blocos. Cada bloco tem uma massa M, então o peso de cada um é P = M cdot g, onde g é a aceleração da gravidade. A corda exerce uma tensão T em cada bloco. Considerando que os blocos têm aceleração a, podemos escrever a segunda lei de Newton para cada bloco:
Para o bloco que desce:
P - T = M cdot a
Para o bloco que sobe:
T - P = M cdot a
Note que um bloco desce enquanto o outro sobe, mas a aceleração a é a mesma para ambos.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a polia. A polia tem uma inércia rotacional I e um raio R. A tensão nas cordas gera um torque sobre a polia. O torque total tau na polia é dado pela diferença entre as tensões nas duas cordas multiplicada pelo raio:
tau = (Tdescente - Tsubida) cdot R
Mas como os blocos são idênticos e a polia é sem atrito, as duas tensões são iguais, então o torque total é zero. No entanto, isso não faz sentido se a polia está girando, então precisamos revisar nossa abordagem.
Na verdade, as tensões são as mesmas, mas a relação entre a aceleração linear dos blocos e a aceleração angular da polia está ligada pela equação:
a = R cdot alpha
Onde alpha é a aceleração angular que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos considerar a rotação da polia. A segunda lei de Newton para a rotação nos diz que o torque total é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
tau = I cdot alpha
Substituindo o torque que calculamos:
(Tdescente - Tsubida) cdot R = I cdot alpha
Como a = R cdot alpha, podemos relacionar as duas equações.

Passo 5

Vamos resolver as equações para encontrar a e alpha. Assumindo que um bloco desce e o outro sobe, e que as tensões são diferentes, temos:
P - Tdescente = M cdot a
Tsubida - P = M cdot a
Somando essas duas equações:
(P - Tdescente) + (Tsubida - P) = 2M cdot a
-Tdescente + Tsubida = 2M cdot a
Agora, substituindo na equação do torque:
(Tsubida - Tdescente) cdot R = I cdot alpha
2M cdot a cdot R = I cdot alpha
E lembrando que a = R cdot alpha, substituímos:
2M cdot (R cdot alpha) cdot R = I cdot alpha
2M R^2 alpha = I alpha
Podemos cancelar alpha dos dois lados (desde que alpha neq 0):
2M R^2 = I
Isso nos dá uma relação entre a massa, o raio e a inércia da polia.

Passo 6

Para encontrar a aceleração angular alpha, vamos reorganizar a equação:
2M R^2 = I
alpha = 2M R^2I
Então, a aceleração angular da polia é:
alpha = 2M R^2I

Resposta

a) A aceleração angular da polia é alpha = dfrac2M R^2I.
b) A aceleração dos blocos é a = R cdot alpha = dfrac2M R^3I.

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