Uma polia com uma inércia rotacional de 1,14 times 10^-3 kg cdot m^2 e um raio de 9,88 cm é submetida a uma força, aplicada em uma direção tangencial à sua borda, que varia no tempo de acordo com a expressão F=A t+B t^2, onde A=0,496 N / s e B=0,305 N / s^2. Se a polia estava inicialmente em repouso, encontre a sua velocidade angular após 3,60 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma polia que tem uma certa inércia rotacional e um raio específico. Uma força está sendo aplicada na borda da polia de forma que essa força muda com o tempo, seguindo a fórmula $ F = A t + B t^{2} $, onde $ A = 0,496 , N/s $ e $ B = 0,305 , N/s^{2} $. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade angular da polia após 3,60 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre torque, momento de inércia e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que torque ($ \tau $) é a força aplicada multiplicada pelo raio da polia. A fórmula é:
tau
Aqui, $ R $ é o raio da polia, que precisamos converter de centímetros para metros:
tau = F times R

Passo 3

Agora, vamos substituir a força $ F = A t + B t^{2} $ na equação do torque:
F = A t + B t^2
tau(t) = (A t + B t^2) times R

Passo 4

O próximo passo é usar a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona torque ($ \tau tau é I I çã \alpha $):
alpha
Queremos encontrar a aceleração angular, então rearranjamos a fórmula:
tau = I times alpha
Sabemos que $ I = 1,14 \times 10^{-3} , kg \cdot m^{2} $, então:
alpha(t) = tau(t)I

Passo 5

Para encontrar a velocidade angular final ($ \omega $), precisamos integrar a aceleração angular no tempo:
omega
Vamos substituir $ \alpha(t) $ na integral:
omega = integral0^t alpha(t) , dt

Passo 6

Vamos simplificar a constante na frente da integral:
0,09881,14 times 10^-3 approx 86,49
Agora, nossa integral fica:
omega = 86,49 times integral0^3,60 (0,496 , t + 0,305 , t^2) , dt

Passo 7

Calculando a integral:
integral (0,496 , t + 0,305 , t^2) , dt = 0,496 times t^22 + 0,305 times t^33
Avaliada de 0 a 3,60 s:
= 0,496 times (3,60)^22 + 0,305 times (3,60)^33
= 0,496 times 12,962 + 0,305 times 46,6563
= 0,496 times 6,48 + 0,305 times 15,552
= 3,213 + 4,748
= 7,961

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo valor constante que encontramos:
omega = 86,49 times 7,961
omega approx 689,04 , rad/s

Resposta

A velocidade angular da polia após 3,60 segundos é aproximadamente $ 689,04 , rad/s $.

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