Uma polia com uma inércia rotacional de
e um raio de
é submetida a uma força, aplicada em uma direção tangencial à sua borda, que varia no tempo de acordo com a expressão
, onde
e
. Se a polia estava inicialmente em repouso, encontre a sua velocidade angular após
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma polia que tem uma certa inércia rotacional e um raio específico. Uma força está sendo aplicada na borda da polia de forma que essa força muda com o tempo, seguindo a fórmula $ F = A t + B t^{2} $, onde $ A = 0,496 , N/s $ e $ B = 0,305 , N/s^{2} $. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade angular da polia após 3,60 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre torque, momento de inércia e aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que torque ($ \tau $) é a força aplicada multiplicada pelo raio da polia. A fórmula é:
Aqui, $ R $ é o raio da polia, que precisamos converter de centímetros para metros:
Passo 3
Agora, vamos substituir a força $ F = A t + B t^{2} $ na equação do torque:
Passo 4
O próximo passo é usar a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona torque ($ \tau
I
\alpha $):
Queremos encontrar a aceleração angular, então rearranjamos a fórmula:
Sabemos que $ I = 1,14 \times 10^{-3} , kg \cdot m^{2} $, então:
Passo 5
Para encontrar a velocidade angular final ($ \omega $), precisamos integrar a aceleração angular no tempo:
Vamos substituir $ \alpha(t) $ na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a constante na frente da integral:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Avaliada de 0 a 3,60 s:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo valor constante que encontramos:
Resposta
A velocidade angular da polia após 3,60 segundos é aproximadamente $ 689,04 , rad/s $.