Dois blocos idênticos de massa \mathrm{m}=0,2 \mathrm{~kg} estão ligados por três molas idênticas (constante \mathrm{k}=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ) entre paredes fixas.
(a) Determine as frequências angulares normais do sistema.
(b) Descreva qualitativamente os modos normais de vibração.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois blocos idênticos e três molas idênticas alinhadas entre paredes fixas, conforme a sequência parede–mola–bloco 1–mola–bloco 2–mola–parede. Os dados são:
m=0{,}2\\ \text{kg},\qquad k=50\\ \text{N/m}.
As perguntas são:
  1. (a) Determinar as frequências angulares normais do sistema.
  2. (b) Descrever qualitativamente os modos normais de vibração.

Passo 2

Escolhemos coordenadas \,x_1(t)\, e \,x_2(t)\, como deslocamentos pequenos dos blocos 1 e 2 em relação às posições de equilíbrio, positivos para a direita. Usamos a Lei de Hooke: a força elástica de uma mola é -k vezes a deformação (positiva se a mola é alongada). Agora escrevemos as forças sobre cada massa:
  • Massa 1: sofre a força da mola esquerda ligada à parede, que vale -k x_1, e a força da mola central devido à diferença de posições, que vale -k(x_1-x_2) (pois a extensão da mola central é x_1-x_2). Somando:
m\,\ddot{x}_1 = -k x_1 - k(x_1-x_2).
  • Massa 2: análogo, tem a mola direita -k x_2 e a mola central -k(x_2-x_1):
m\,\ddot{x}_2 = -k x_2 - k(x_2-x_1).
Simplificando cada equação:
m\,\ddot{x}_1 = -2k x_1 + k x_2,
m\,\ddot{x}_2 = k x_1 - 2k x_2.
Aqui explico: os termos -2k x_1 e -2k x_2 vêm porque cada massa “vê” duas molas que a puxam (a própria externa e a central, quando há deslocamento relativo); o termo cruzado +k x_2 em \ddot{x}_1 vem da mola central que puxa a massa 1 na direção de x_2.

Passo 3

Procuramos soluções harmônicas normais do tipo \,x_j(t)=A_j e^{i\omega t}\, com amplitudes constantes \,A_1,A_2\, e frequência angular \omega. Substituindo \ddot{x}_j=-\omega^2 x_j nas equações de movimento obtemos o sistema linear para os amplitudes:
- m\omega^2 A_1 = -2k A_1 + k A_2,
- m\omega^2 A_2 = k A_1 - 2k A_2.
Reorganizando em forma matricial (autovalores):
\begin{pmatrix} 2k - m\omega^2 & -k\\[4pt] -k & 2k - m\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_1\\[4pt]A_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para existir solução não-trivial, o determinante da matriz deve ser zero.]

Passo 4

Calculamos o determinante e obtemos a equação característica:
\det\begin{pmatrix} 2k - m\omega^2 & -k\\[4pt] -k & 2k - m\omega^2 \end{pmatrix} =(2k - m\omega^2)^2 - (-k)(-k)=0.
Portanto
(2k - m\omega^2)^2 - k^2=0.
Isto fatoriza como
(2k - m\omega^2 - k)(2k - m\omega^2 + k)=0.
Então temos duas possibilidades:
2k - m\omega^2 - k = 0 \quad\Longrightarrow\quad m\omega^2 = k,
2k - m\omega^2 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad m\omega^2 = 3k.
Logo as soluções simbólicas são
\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}}\qquad\text{e}\qquad \omega_2=\sqrt{\frac{3k}{m}}.]

Passo 5

Agora plugamos os valores numéricos \,k=50\\ \text{N/m}\, e \,m=0{,}2\\ \text{kg}\,.
\frac{k}{m}=\frac{50}{0{,}2}=250\quad\Rightarrow\quad \omega_1=\sqrt{250}\approx 15{,}811\\ \text{rad/s}.
\frac{3k}{m}=\frac{150}{0{,}2}=750\quad\Rightarrow\quad \omega_2=\sqrt{750}\approx 27{,}386\\ \text{rad/s}.
Arredondando razoavelmente:
\omega_1\approx 15{,}81\\ \text{rad/s},\qquad \omega_2\approx 27{,}39\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Precisamos interpretar os autovetores (relação entre A_1 e A_2) para descrever os modos:
  • Para \omega^2=\dfrac{k}{m} substituímos na primeira linha da matriz:
(2k - m\omega^2)A_1 - k A_2 = (2k - k)A_1 - k A_2 = k A_1 - k A_2 = 0,
então A_1=A_2. Isso significa que no primeiro modo ambos os blocos oscilam com a mesma amplitude e em fase (movem-se juntos para a direita e para a esquerda ao mesmo tempo). Observação física: neste modo a mola central não se deforma, pois sua extensão é x_1-x_2=0. A restauração é feita pelas molas ligadas às paredes; por isso a frequência é menor.
  • Para \omega^2=\dfrac{3k}{m} temos
(2k - m\omega^2)A_1 - k A_2 = (2k - 3k)A_1 - k A_2 = -k A_1 - k A_2 = 0,
logo A_1 = -A_2. Isso significa que no segundo modo os blocos oscilam com amplitudes iguais, porém em oposição de fase: quando um vai para a direita, o outro vai para a esquerda. A mola central é fortemente comprimida/esticada (extensão x_1-x_2\neq0), contribuindo fortemente para a força restauradora; por isso a frequência é maior.

Passo 7

Resumo físico e dica de prova: sempre escreva as equações de movimento identificando cada mola e sua deformação; assuma soluções harmônicas x_j=A_j e^{i\omega t} e resolva o determinante para achar \omega. Para interpretar os modos, encontre as razões A_1/A_2 e imagine as massas movendo-se em fase (mesma direção) ou em oposição (direções opostas). Você já tem as frequências e a descrição clara de cada modo — vai bem, está no caminho certo!

Resposta

\omega_1=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\approx 15{,}81\\ \text{rad/s} \quad \omega_2=\sqrt{\dfrac{3k}{m}}\approx 27{,}39\\ \text{rad/s}
Modo 1: A_1=A_2 — os dois blocos oscilam em fase com mesma amplitude; a mola central não se deforma.
Modo 2: A_1=-A_2 — os blocos oscilam em oposição de fase com mesma amplitude; a mola central é fortemente deformada.

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