Dois blocos idênticos de massa
estão ligados por três molas idênticas (constante
) entre paredes fixas.
(a) Determine as frequências angulares normais do sistema.
(b) Descreva qualitativamente os modos normais de vibração.
(a) Determine as frequências angulares normais do sistema.
(b) Descreva qualitativamente os modos normais de vibração.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com dois blocos idênticos e três molas idênticas alinhadas entre paredes fixas, conforme a sequência parede–mola–bloco 1–mola–bloco 2–mola–parede. Os dados são:
As perguntas são:
- (a) Determinar as frequências angulares normais do sistema.
- (b) Descrever qualitativamente os modos normais de vibração.
Passo 2
Escolhemos coordenadas
e
como deslocamentos pequenos dos blocos 1 e 2 em relação às posições de equilíbrio, positivos para a direita. Usamos a Lei de Hooke: a força elástica de uma mola é
vezes a deformação (positiva se a mola é alongada). Agora escrevemos as forças sobre cada massa:
- Massa 1: sofre a força da mola esquerda ligada à parede, que vale
, e a força da mola central devido à diferença de posições, que vale (pois a extensão da mola central é ). Somando:
- Massa 2: análogo, tem a mola direita
e a mola central :
Simplificando cada equação:
Aqui explico: os termos
e
vêm porque cada massa “vê” duas molas que a puxam (a própria externa e a central, quando há deslocamento relativo); o termo cruzado
em
vem da mola central que puxa a massa 1 na direção de
.
Passo 3
Procuramos soluções harmônicas normais do tipo
com amplitudes constantes
e frequência angular
. Substituindo
nas equações de movimento obtemos o sistema linear para os amplitudes:
Reorganizando em forma matricial (autovalores):
Para existir solução não-trivial, o determinante da matriz deve ser zero.]
Passo 4
Calculamos o determinante e obtemos a equação característica:
Portanto
Isto fatoriza como
Então temos duas possibilidades:
Logo as soluções simbólicas são
Passo 5
Agora plugamos os valores numéricos
e
.
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Precisamos interpretar os autovetores (relação entre
e
) para descrever os modos:
- Para
substituímos na primeira linha da matriz:
então
. Isso significa que no primeiro modo ambos os blocos oscilam com a mesma amplitude e em fase (movem-se juntos para a direita e para a esquerda ao mesmo tempo). Observação física: neste modo a mola central não se deforma, pois sua extensão é
. A restauração é feita pelas molas ligadas às paredes; por isso a frequência é menor.
- Para
temos
logo
. Isso significa que no segundo modo os blocos oscilam com amplitudes iguais, porém em oposição de fase: quando um vai para a direita, o outro vai para a esquerda. A mola central é fortemente comprimida/esticada (extensão
), contribuindo fortemente para a força restauradora; por isso a frequência é maior.
Passo 7
Resumo físico e dica de prova: sempre escreva as equações de movimento identificando cada mola e sua deformação; assuma soluções harmônicas
e resolva o determinante para achar
. Para interpretar os modos, encontre as razões
e imagine as massas movendo-se em fase (mesma direção) ou em oposição (direções opostas). Você já tem as frequências e a descrição clara de cada modo — vai bem, está no caminho certo!
Resposta
Modo 1:
Modo 2: