Um bloco de
oscila preso a uma mola de constante
. No instante
, o bloco passa pela posição
com velocidade
.
(a) Determine a amplitude e a fase inicial do movimento.
(b) Calcule a energia total e a velocidade do bloco quando
.
(a) Determine a amplitude e a fase inicial do movimento.
(b) Calcule a energia total e a velocidade do bloco quando
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados:
Perguntas:
(a) Determine a amplitude e a fase inicial do movimento.
(b) Calcule a energia total e a velocidade do bloco quando .
(a) Determine a amplitude e a fase inicial do movimento.
(b) Calcule a energia total e a velocidade do bloco quando
Passo 2
Escolhemos a forma padrão do movimento harmônico simples (é a forma mais direta para oscilações de mola):
onde
é a amplitude (máxima elongação),
é a frequência angular e
é a fase inicial. A velocidade é a derivada temporal:
Explico cada símbolo:
é a amplitude (m),
é a frequência angular (rad/s),
é a fase inicial (rad),
é a posição em função do tempo (m) e
é a velocidade (m/s).
Calculamos primeiro
pela relação da mola:
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais
em
e
:
Da segunda equação isolamos
:
Da primeira:
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica
para eliminar
e achar
:
Organizando:
Substituímos
:
Portanto
Passo 5
Agora determinamos
usando
e
com o valor de
:
Como
e
, a fase
está no primeiro quadrante. Calculamos
por arctan:
Em graus isso é
.
Passo 6
Parte (b): energia total
. Em oscilador harmônico a energia total é constante e dada por
Substituindo:
(Como checagem alternativa, poderíamos usar
; se calcularmos dá o mesmo
.)
Passo 7
Velocidade quando
. Usamos conservação de energia:
Isolando
:
Calculamos a energia potencial em
:
Assim a energia cinética é
Logo a velocidade (módulo) vale
Agora o sinal: no instante inicial
com
, o bloco está se movendo para a esquerda (velocidade negativa) e ainda não atingiu a amplitude negativa máxima. Ao passar por
ele ainda estará se deslocando para a esquerda, portanto a velocidade é negativa. Assim
Passo 8
Para referência, a solução temporal completa do movimento com os valores encontrados é
com
,
,
.
Resposta
Amplitude
Fase inicial (aprox.
)
Energia total
Velocidade em :
Fase inicial
Energia total
Velocidade em