Um bloco de 0,5 \mathrm{~kg} oscila preso a uma mola de constante \mathrm{k}=80 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. No instante \mathrm{t}=0, o bloco passa pela posição \mathrm{x}=+0,10 \mathrm{~m} com velocidade \mathrm{v}=-0,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Determine a amplitude e a fase inicial do movimento.
(b) Calcule a energia total e a velocidade do bloco quando x=-0,08 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados:
m=0{,}5\\ \mathrm{kg},\qquad k=80\\ \mathrm{N/m},
x(0)=+0{,}10\\ \mathrm{m},\qquad v(0)=-0{,}60\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas:
(a) Determine a amplitude e a fase inicial do movimento.
(b) Calcule a energia total e a velocidade do bloco quando x=-0{,}08\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Escolhemos a forma padrão do movimento harmônico simples (é a forma mais direta para oscilações de mola):
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude (máxima elongação), \omega é a frequência angular e \varphi é a fase inicial. A velocidade é a derivada temporal:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Explico cada símbolo: A é a amplitude (m), \omega é a frequência angular (rad/s), \varphi é a fase inicial (rad), x(t) é a posição em função do tempo (m) e v(t) é a velocidade (m/s).
Calculamos primeiro \omega pela relação da mola:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{80}{0{,}5}}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx 12{,}649\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais t=0 em x(t) e v(t):
x(0)=A\cos\varphi=0{,}10,
v(0)=-A\omega\sin\varphi=-0{,}60.
Da segunda equação isolamos \sin\varphi:
-A\omega\sin\varphi=-0{,}60\\ \Rightarrow\\ A\omega\sin\varphi=0{,}60\\ \Rightarrow\\ \sin\varphi=\frac{0{,}60}{A\omega}.
Da primeira:
\cos\varphi=\frac{0{,}10}{A}.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1 para eliminar \varphi e achar A:
\left(\frac{0{,}10}{A}\right)^2+\left(\frac{0{,}60}{A\omega}\right)^2=1.
Organizando:
\frac{0{,}10^2}{A^2}+\frac{0{,}60^2}{A^2\omega^2}=1 \quad\Rightarrow\quad A^2=\;0{,}10^2+\frac{0{,}60^2}{\omega^2}.
Substituímos \omega^2=160:
A^2=0{,}01+\frac{0{,}36}{160}=0{,}01+0{,}00225=0{,}01225.
Portanto
A=\sqrt{0{,}01225}=0{,}11068\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox. }0{,}1107\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Agora determinamos \varphi usando \cos\varphi e \sin\varphi com o valor de A:
\cos\varphi=\frac{0{,}10}{A}=\frac{0{,}10}{0{,}11068}\approx 0{,}90351,
\sin\varphi=\frac{0{,}60}{A\omega}=\frac{0{,}60}{0{,}11068\cdot 4\sqrt{10}}\approx 0{,}42857.
Como \cos\varphi>0 e \sin\varphi>0, a fase \varphi está no primeiro quadrante. Calculamos \varphi por arctan:
\varphi=\operatorname{atan2}\big(\sin\varphi,\cos\varphi\big)=\arctan\!\left(\frac{0{,}42857}{0{,}90351}\right)\approx 0{,}4436\\ \mathrm{rad}.
Em graus isso é \varphi\approx 25{,}4^\circ.

Passo 6

Parte (b): energia total E. Em oscilador harmônico a energia total é constante e dada por
E=\frac{1}{2}kA^2.
Substituindo:
E=\frac{1}{2}\cdot 80\cdot 0{,}01225=40\cdot 0{,}01225=0{,}49\\ \mathrm{J}.
(Como checagem alternativa, poderíamos usar E=\tfrac{1}{2}k x(0)^2+\tfrac{1}{2}m v(0)^2; se calcularmos dá o mesmo 0{,}49\\ \mathrm{J}.)

Passo 7

Velocidade quando x=-0{,}08\\ \mathrm{m}. Usamos conservação de energia:
\frac{1}{2}m v^2+\frac{1}{2}k x^2=E.
Isolando v:
v=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{1}{2}k x^2\right)}.
Calculamos a energia potencial em x=-0{,}08:
\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (0{,}08)^2=40\cdot 0{,}0064=0{,}256\\ \mathrm{J}.
Assim a energia cinética é
K=E-U=0{,}49-0{,}256=0{,}234\\ \mathrm{J}.
Logo a velocidade (módulo) vale
|v|=\sqrt{\frac{2K}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}234}{0{,}5}}=\sqrt{0{,}936}=0{,}9678\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox. }0{,}968\\ \mathrm{m/s}).
Agora o sinal: no instante inicial x(0)=+0{,}10 com v(0)=-0{,}60, o bloco está se movendo para a esquerda (velocidade negativa) e ainda não atingiu a amplitude negativa máxima. Ao passar por x=-0{,}08 ele ainda estará se deslocando para a esquerda, portanto a velocidade é negativa. Assim
v\big(x=-0{,}08\big)\approx -0{,}968\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Para referência, a solução temporal completa do movimento com os valores encontrados é
x(t)=0{,}11068\cos\big(4\sqrt{10}\,t+0{,}4436\big)\\ \mathrm{m},
com \omega=4\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}, \;A\approx 0{,}1107\\ \mathrm{m}, \;\varphi\approx 0{,}4436\\ \mathrm{rad}.

Resposta

Amplitude A=0{,}1107\\ \mathrm{m}
Fase inicial \varphi=0{,}4436\\ \mathrm{rad} (aprox. 25{,}4^\circ)
Energia total E=0{,}49\\ \mathrm{J}
Velocidade em x=-0{,}08\\ \mathrm{m}: v\approx -0{,}968\\ \mathrm{m/s}

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