Dois blocos de massa m sãp suspensos nas extremidades de uma haste rígida, de peso desprezível, de comprimento total L=L1+L2. A haste é mantida na posição horizontal apoiada a uma distância L1 da estremidade esquerda e é, então, solta para girar livremente em torno do apoio. Calcule a aceleração dos dois blocos quando eles começam a se mover.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois blocos de massa $ m $ pendurados nas extremidades de uma haste rígida com comprimento total $ L = L_1 + L_2 $. A haste está apoiada a uma distância $ L_1 $ da esquerda e é solta para girar livremente. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração dos dois blocos assim que a haste começa a se mover. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular da rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando a haste é solta, ela vai começar a girar devido à força da gravidade atuando nos blocos. Essa força gera um torque que faz a haste girar. O torque ($ \tau $) é calculado pela fórmula:
tau
onde $ r $ é a distância do ponto de apoio até o ponto onde a força é aplicada, e $ F $ é a força (neste caso, o peso dos blocos, que é $ mg $).

Passo 3

Vamos calcular o torque total no sistema. Temos dois blocos, um à esquerda e outro à direita do apoio. O bloco à esquerda está a uma distância $ L_1 $ do apoio, e o bloco à direita a uma distância $ L_2 $. A força de cada bloco é $ mg $.
Então, o torque total é:
L1
O sinal negativo indica que os torques estão em direções opostas, mas vamos considerar apenas o valor absoluto para a aceleração.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) da haste com os dois blocos. Como a haste é de peso desprezível, o momento de inércia será somente dos dois blocos em relação ao ponto de apoio.
O momento de inércia para cada bloco é dado por:
I
Então, para os dois blocos:
I = m r^2

Passo 5

Com o torque total e o momento de inércia, podemos usar a segunda lei de Newton para a rotação:
tautotal = I times alpha
onde $ \alpha $ é a aceleração angular que queremos encontrar.
Substituindo os valores que encontramos:
alpha

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ m $:
m
Agora, isolamos $ \alpha $:
g(L1 - L2) = (L1^2 + L2^2) times alpha

Passo 7

A aceleração linear ($ a $) dos blocos está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
a
onde $ r $ é a distância do suporte até cada bloco. Então, para cada bloco:
Para o bloco à esquerda:
a = alpha times r
Para o bloco à direita:
r

Resposta

As acelerações dos blocos quando a haste começa a se mover são:
a1 = g L1 (L1 - L2)L1^2 + L2^2 e a2 = g L2 (L1 - L2)L1^2 + L2^2

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