Dois blocos de massa
sãp suspensos nas extremidades de uma haste rígida, de peso desprezível, de comprimento total
. A haste é mantida na posição horizontal apoiada a uma distância
da estremidade esquerda e é, então, solta para girar livremente em torno do apoio. Calcule a aceleração dos dois blocos quando eles começam a se mover.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois blocos de massa $ m $ pendurados nas extremidades de uma haste rígida com comprimento total $ L = L_1 + L_2 $. A haste está apoiada a uma distância $ L_1 $ da esquerda e é solta para girar livremente. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração dos dois blocos assim que a haste começa a se mover. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular da rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando a haste é solta, ela vai começar a girar devido à força da gravidade atuando nos blocos. Essa força gera um torque que faz a haste girar. O torque ($ \tau $) é calculado pela fórmula:
onde $ r $ é a distância do ponto de apoio até o ponto onde a força é aplicada, e $ F $ é a força (neste caso, o peso dos blocos, que é $ mg $).
Passo 3
Vamos calcular o torque total no sistema. Temos dois blocos, um à esquerda e outro à direita do apoio. O bloco à esquerda está a uma distância $ L_1 $ do apoio, e o bloco à direita a uma distância $ L_2 $. A força de cada bloco é $ mg $.
Então, o torque total é:
O sinal negativo indica que os torques estão em direções opostas, mas vamos considerar apenas o valor absoluto para a aceleração.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) da haste com os dois blocos. Como a haste é de peso desprezível, o momento de inércia será somente dos dois blocos em relação ao ponto de apoio.
O momento de inércia para cada bloco é dado por:
Então, para os dois blocos:
Passo 5
Com o torque total e o momento de inércia, podemos usar a segunda lei de Newton para a rotação:
onde $ \alpha $ é a aceleração angular que queremos encontrar.
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ m $:
Agora, isolamos $ \alpha $:
Passo 7
A aceleração linear ($ a $) dos blocos está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
onde $ r $ é a distância do suporte até cada bloco. Então, para cada bloco:
Para o bloco à esquerda:
Para o bloco à direita:
Resposta
As acelerações dos blocos quando a haste começa a se mover são: