Um bastão fino de comprimento L e massa m está suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente até uma posição angular theta, para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular omega. Sabendo que theta(t) é dado por:
theta(t)=a t^3+b t^2+c t+d, onde a, b, c e d são constantes, ã
a) Calcule a sua energia cinética ao passar por esse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um bastão fino de comprimento $ L $ e massa $ m $ que está pendurado livremente por uma das extremidades. Ele é puxado até uma posição angular $ \theta $ e depois liberado para oscilar como um pêndulo. Quando ele passa pela posição mais baixa, ele tem uma velocidade angular $ \omega $. A pergunta é para calcular a energia cinética desse bastão nesse momento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a energia cinética de um corpo em rotação. Precisaremos saber sobre momento de inércia e como calcular a energia cinética usando a velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a energia cinética ($ E_k $) de um objeto que está girando. A energia cinética rotacional é dada por:
Ek
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação.
  • $ \omega $ é a velocidade angular.
Essa fórmula nos diz que a energia cinética depende de como a massa do objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação (isso é o momento de inércia) e de quão rápido ele está girando (a velocidade angular).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) do bastão fino em relação ao ponto de suspensão (uma das extremidades). Para um bastão fino de comprimento $ L $ e massa $ m $ girando em torno de uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
I
Essa fórmula vem da distribuição de massa do bastão em relação ao eixo de rotação. Como toda a massa está distribuída ao longo do comprimento $ L $, o momento de inércia considera essa distribuição linear.

Passo 4

Agora que temos o momento de inércia, podemos substituir $ I $ na fórmula da energia cinética:
I
Vamos simplificar essa expressão:
Ek = 12 ( 13 m L^2 ) omega^2

Resposta

A energia cinética do bastão ao passar pela posição mais baixa é:
Ek = 16 m L^2 omega^2

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