Um bastão fino de comprimento
e massa
está suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente até uma posição angular
, para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular
. Sabendo que
é dado por:
a) Calcule a sua energia cinética ao passar por esse ponto.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um bastão fino de comprimento $ L $ e massa $ m $ que está pendurado livremente por uma das extremidades. Ele é puxado até uma posição angular $ \theta $ e depois liberado para oscilar como um pêndulo. Quando ele passa pela posição mais baixa, ele tem uma velocidade angular $ \omega $. A pergunta é para calcular a energia cinética desse bastão nesse momento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a energia cinética de um corpo em rotação. Precisaremos saber sobre momento de inércia e como calcular a energia cinética usando a velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a energia cinética ($ E_k $) de um objeto que está girando. A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação.
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Essa fórmula nos diz que a energia cinética depende de como a massa do objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação (isso é o momento de inércia) e de quão rápido ele está girando (a velocidade angular).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) do bastão fino em relação ao ponto de suspensão (uma das extremidades). Para um bastão fino de comprimento $ L $ e massa $ m $ girando em torno de uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
Essa fórmula vem da distribuição de massa do bastão em relação ao eixo de rotação. Como toda a massa está distribuída ao longo do comprimento $ L $, o momento de inércia considera essa distribuição linear.
Passo 4
Agora que temos o momento de inércia, podemos substituir $ I $ na fórmula da energia cinética:
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A energia cinética do bastão ao passar pela posição mais baixa é: