Dois blocos de massas 12,0 \mathrm{~kg} e 8,0 \mathrm{~kg} estão conectados por um cabo ideal que passa sobre uma polia em forma de disco uniforme de raio 0,12 \mathrm{~m} e massa 4,00 \mathrm{~kg}. O cabo não escorrega, e a polia gira sem atrito. 0 s blocos partem do repouso separados por 2,5 m.
O momento de inércia do disco é \mathrm{I}=(1 / 2) \mathrm{MR}^{2}.
(a) Determine a aceleração linear dos blocos e a aceleração angular da polia.
(b) Determine as tensões nos dois lados da corda.
(c) Calcule a velocidade dos blocos no instante em que se encontram.

Passo 1

O enunciado fornece dois blocos ligados por um cabo que passa sobre uma polia-disco. As informações relevantes são:
  • massas dos blocos: m_1=12,0\\ \mathrm{kg} e m_2=8,0\\ \mathrm{kg};
  • polia: disco uniforme de massa M=4,00\\ \mathrm{kg} e raio R=0,12\\ \mathrm{m};
  • momento de inércia do disco: I=\tfrac{1}{2}MR^{2} (informação dada);
  • o cabo não escorrega e a polia gira sem atrito;
  • os blocos partem do repouso e a distância entre eles inicialmente é 2,5\\ \mathrm{m};
  • constante gravitacional: usaremos g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que é pedido:
(a) determinar a aceleração linear a dos blocos e a aceleração angular \alpha da polia;
(b) determinar as tensões nos dois lados da corda (tensão do lado do bloco de 12,0\\ \mathrm{kg} e do lado do bloco de 8,0\\ \mathrm{kg});
(c) calcular a velocidade dos blocos no instante em que se encontram.

Passo 2

Escolhemos sinais e interpretamos movimentos: como m_1=12,0\\ \mathrm{kg} é maior que m_2=8,0\\ \mathrm{kg}, m_1 desce e m_2 sobe. Denotemos:
  • T_1 a tensão no lado do bloco m_1 (lado onde o bloco desce),
  • T_2 a tensão no lado do bloco m_2 (lado onde o bloco sobe),
  • aceleração linear dos blocos em módulo \,a (positiva para m_1 para baixo e para m_2 para cima),
  • aceleração angular da polia \,\alpha com sinal consistente com o movimento (positivo se a rotação aumenta quando m_1 desce).
Agora escrevemos as equações de movimento de cada corpo usando a Segunda Lei de Newton (para translação) e a equação rotacional para a polia.

Passo 3

Equações para os blocos (aplicando \sum F = m a com o sentido positivo escolhido):
  • Para m_1 (descendo): m_1 g - T_1 = m_1 a.
  • Para m_2 (subindo): T_2 - m_2 g = m_2 a.
Equação rotacional da polia: o torque resultante devido às tensões é (T_1 - T_2)R (porque T_1 tende a girar a polia num sentido e T_2 no oposto). Pela Segunda Lei de Newton para rotação:
(T_1 - T_2)R = I\alpha.
Condição de não deslizamento (restrição cinemática): a relação entre aceleração linear e aceleração angular é
a = \alpha R \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{a}{R}.
Substituindo \alpha na equação rotacional:
T_1 - T_2 = \frac{I}{R^{2}}\,a.

Passo 4

Agora vamos combinar as equações para eliminar as tensões e achar a. Das duas equações de translação:
T_1 = m_1 g - m_1 a,
T_2 = m_2 g + m_2 a.
Subtraindo:
T_1 - T_2 = (m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2) a.
Igualando com a expressão rotacional:
(m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2) a = \frac{I}{R^{2}}\,a.
Rearranjando para a:
(m_1 - m_2)g = \Bigl(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^{2}}\Bigr)a,
a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{R^{2}}}.

Passo 5

Calculemos I/R^{2}. Dado I=\tfrac{1}{2}MR^{2}, temos
\frac{I}{R^{2}}=\frac{1}{2}M=\frac{1}{2}\cdot 4,00 = 2,00\\ \mathrm{kg}.
Agora substituímos os valores numéricos:
a=\frac{(12,0-8,0)\cdot 9,80}{12,0+8,0+2,00}=\frac{4,0\cdot 9,80}{22,0}=\frac{39,2}{22,0}=1,781818\ldots\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma adequada:
a \approx 1,78\\ \mathrm{m/s^{2}},
no sentido de m_1 para baixo (isto é, m_1 acelera para baixo com 1,78\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

Aceleração angular da polia \alpha vem de \alpha=\dfrac{a}{R}:
\alpha = \frac{1,781818\ldots}{0,12} = 14,84848\ldots\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Arredondando:
\alpha \approx 14,8\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 7

Agora encontramos as tensões usando as expressões:
T_1 = m_1(g-a),\qquad T_2 = m_2(g+a).
Calcule T_1:
T_1 = 12,0\cdot(9,80-1,781818\ldots)=12,0\cdot 8,018181\ldots =96,21818\ldots\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
T_1 \approx 96,2\\ \mathrm{N}.
Calcule T_2:
T_2 = 8,0\cdot(9,80+1,781818\ldots)=8,0\cdot 11,581818\ldots =92,654545\ldots\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
T_2 \approx 92,7\\ \mathrm{N}.
Verificação rápida: T_1-T_2\approx 3,56\\ \mathrm{N} e \dfrac{I}{R^{2}}a=2,00\cdot 1,781818\ldots =3,563636\ldots\\ \mathrm{N}, consistente com a equação rotacional.

Passo 8

Para a velocidade no instante em que se encontram: cada bloco parte do repouso e, devido à simetria das acelerações iguais em módulo, ambos percorrem a mesma distância até se encontrarem. Se a separação inicial é 2,5\\ \mathrm{m}, então cada um percorre
s=\frac{2,5}{2}=1,25\\ \mathrm{m}.
Usamos a equação de Cine-mática para movimento com aceleração constante começando do repouso:
v^{2}=2 a s \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{2 a s}.
Substituindo a=1,781818\ldots\\ \mathrm{m/s^{2}} e s=1,25\\ \mathrm{m}:
v=\sqrt{2\cdot 1,781818\ldots \cdot 1,25}=\sqrt{4,454545\ldots}=2,11059\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v \approx 2,11\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) a\approx 1,78\\ \mathrm{m/s^{2}} ( m_1 para baixo ); \alpha\approx 14,8\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
(b) T_1\approx 96,2\\ \mathrm{N} (lado de 12,0\\ \mathrm{kg}); T_2\approx 92,7\\ \mathrm{N} (lado de 8,0\\ \mathrm{kg}).
(c) v\approx 2,11\\ \mathrm{m/s}.

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