Dois blocos de massas
e
estão conectados por um cabo ideal que passa sobre uma polia em forma de disco uniforme de raio
e massa
. O cabo não escorrega, e a polia gira sem atrito.
blocos partem do repouso separados por 2,5 m.
O momento de inércia do disco é
.
(a) Determine a aceleração linear dos blocos e a aceleração angular da polia.
(b) Determine as tensões nos dois lados da corda.
(c) Calcule a velocidade dos blocos no instante em que se encontram.
(a) Determine a aceleração linear dos blocos e a aceleração angular da polia.
(b) Determine as tensões nos dois lados da corda.
(c) Calcule a velocidade dos blocos no instante em que se encontram.
Passo 1
O enunciado fornece dois blocos ligados por um cabo que passa sobre uma polia-disco. As informações relevantes são:
- massas dos blocos:
e ; - polia: disco uniforme de massa
e raio ; - momento de inércia do disco:
(informação dada); - o cabo não escorrega e a polia gira sem atrito;
- os blocos partem do repouso e a distância entre eles inicialmente é
; - constante gravitacional: usaremos
.
O que é pedido:
(a) determinar a aceleração linear dos blocos e a aceleração angular
da polia;
(b) determinar as tensões nos dois lados da corda (tensão do lado do bloco de e do lado do bloco de
);
(c) calcular a velocidade dos blocos no instante em que se encontram.
(a) determinar a aceleração linear
(b) determinar as tensões nos dois lados da corda (tensão do lado do bloco de
(c) calcular a velocidade dos blocos no instante em que se encontram.
Passo 2
Escolhemos sinais e interpretamos movimentos: como
é maior que
,
desce e
sobe. Denotemos:
-
a tensão no lado do bloco (lado onde o bloco desce), -
a tensão no lado do bloco (lado onde o bloco sobe), - aceleração linear dos blocos em módulo
(positiva para para baixo e para para cima), - aceleração angular da polia
com sinal consistente com o movimento (positivo se a rotação aumenta quando desce).
Agora escrevemos as equações de movimento de cada corpo usando a Segunda Lei de Newton (para translação) e a equação rotacional para a polia.
Passo 3
Equações para os blocos (aplicando
com o sentido positivo escolhido):
- Para
(descendo): - Para
(subindo):
Equação rotacional da polia: o torque resultante devido às tensões é
(porque
tende a girar a polia num sentido e
no oposto). Pela Segunda Lei de Newton para rotação:
Condição de não deslizamento (restrição cinemática): a relação entre aceleração linear e aceleração angular é
Substituindo
na equação rotacional:
Passo 4
Agora vamos combinar as equações para eliminar as tensões e achar
. Das duas equações de translação:
Subtraindo:
Igualando com a expressão rotacional:
Rearranjando para
:
Passo 5
Calculemos
. Dado
, temos
Agora substituímos os valores numéricos:
Arredondando de forma adequada:
no sentido de
para baixo (isto é,
acelera para baixo com
).
Passo 6
Aceleração angular da polia
vem de
:
Arredondando:
Passo 7
Agora encontramos as tensões usando as expressões:
Calcule
:
Arredondando:
Calcule
:
Arredondando:
Verificação rápida:
e
, consistente com a equação rotacional.
Passo 8
Para a velocidade no instante em que se encontram: cada bloco parte do repouso e, devido à simetria das acelerações iguais em módulo, ambos percorrem a mesma distância até se encontrarem. Se a separação inicial é
, então cada um percorre
Usamos a equação de Cine-mática para movimento com aceleração constante começando do repouso:
Substituindo
e
:
Arredondando:
Resposta
(a)
(
para baixo );
.
(b) (lado de
);
(lado de
).
(c) .
(b)
(c)