Um carrinho leve de massa 0,20 \mathrm{~kg} desloca-se para a direita com velocidade inicial \mathrm{v}_{1}, \mathrm{i}= +10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em direção a um carrinho pesado de massa 2,0 \mathrm{~kg}, inicialmente parado. Após a colisão, o carrinho leve retorna com velocidade \mathrm{v}_{1}, \mathrm{f}=-4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Assuma ausência de forças externas horizontais.
(a) Calcule a velocidade final \mathrm{v}_{2}, \mathrm{f} do carrinho pesado imediatamente após a colisão.
(b) Calcule a energia cinética total antes e depois da colisão.
(c) Determine a energia mecânica dissipada (perdida) na colisão.
(d) Classifique a colisão e explique sucintamente.
(e) Suponha agora que o carrinho leve fique acoplado ao carrinho pesado após a colisão (colisão perfeitamente inelástica). Determine a velocidade final do conjunto.

Passo 1

Identificar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
m_1 = 0,20\\ \mathrm{kg}
v_{1,i} = +10,0\\ \mathrm{m/s}
m_2 = 2,0\\ \mathrm{kg}
v_{2,i} = 0\\ \mathrm{m/s}
v_{1,f} = -4,0\\ \mathrm{m/s}
Perguntas:
(a) Calcular v_{2,f}, velocidade final do carrinho pesado imediatamente após a colisão.
(b) Calcular a energia cinética total antes e depois da colisão.
(c) Determinar a energia mecânica dissipada (perdida) na colisão.
(d) Classificar a colisão e explicar sucintamente.
(e) Supondo agora colisão perfeitamente inelástica (os dois ficam acoplados), determinar a velocidade final do conjunto.

Passo 2

Princípio e fórmula útil para (a): conservação do momento linear (quantidade de movimento) na direção horizontal.
Explicação didática: se não há forças externas horizontais, o momento total do sistema antes da colisão é igual ao momento total depois. O momento (ou quantidade de movimento) de um corpo é dado por massa vezes velocidade. Em fórmula:
m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}.
Aqui cada símbolo significa:
  • m_1, m_2: massas dos corpos;
  • v_{1,i}, v_{2,i}: velocidades iniciais;
  • v_{1,f}, v_{2,f}: velocidades finais.
Não estamos assumindo conservação de energia cinética ainda — isso vem depois para comparar.

Passo 3

Aplicar a fórmula da conservação do momento para isolar v_{2,f}.
Partindo de
m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f},
como v_{2,i}=0, temos
m_1 v_{1,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}.
Isolando v_{2,f}:
m_2 v_{2,f} = m_1(v_{1,i} - v_{1,f})
v_{2,f} = \frac{m_1 (v_{1,i} - v_{1,f})}{m_2}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos em \;v_{2,f} = \dfrac{m_1 (v_{1,i} - v_{1,f})}{m_2}\;.
Calcule o numerador:
v_{1,i} - v_{1,f} = 10,0 - (-4,0) = 14,0\\ \mathrm{m/s}.
m_1 (v_{1,i} - v_{1,f}) = 0,20 \times 14,0 = 2,80\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora divida por m_2:
v_{2,f} = \frac{2,80}{2,0} = 1,40\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: v_{2,f}=+1,40\\ \mathrm{m/s} (o sinal positivo indica que o carrinho pesado segue para a direita).

Passo 5

Princípio e fórmula útil para (b) e (c): energia cinética de um corpo e energia total do sistema.
Explicação didática: a energia cinética de um corpo de massa m movendo-se com velocidade v é
K=\frac{1}{2} m v^2,
onde m é massa e v é a velocidade (o quadrado elimina o sinal da velocidade, então é sempre não-negativa). A energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas das duas massas.
Vamos calcular a energia cinética total antes ( K_i) e depois ( K_f).

Passo 6

Calcular a energia cinética total antes da colisão.
Como v_{2,i}=0, a energia inicial é só do carrinho leve:
K_i = \frac{1}{2} m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1,i}^2.
Substituindo:
K_i = \tfrac{1}{2}\times 0,20 \times (10,0)^2 = 0,10 \times 100 = 10,0\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a energia cinética total depois da colisão usando v_{1,f} e v_{2,f}.
Fórmula:
K_f = \frac{1}{2} m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2,f}^2.
Substituindo valores ( v_{1,f}=-4,0\\ \mathrm{m/s} e v_{2,f}=1,40\\ \mathrm{m/s}):
\frac{1}{2} m_1 v_{1,f}^2 = \tfrac{1}{2}\times 0,20 \times (4,0)^2 = 0,10 \times 16,0 = 1,60\\ \mathrm{J},
\frac{1}{2} m_2 v_{2,f}^2 = \tfrac{1}{2}\times 2,0 \times (1,40)^2 = 1,0 \times 1,96 = 1,96\\ \mathrm{J}.
Somando:
K_f = 1,60 + 1,96 = 3,56\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular a energia mecânica dissipada (perdida) na colisão.
Definição: energia dissipada = energia cinética inicial - energia cinética final.
\Delta E = K_i - K_f = 10,0 - 3,56 = 6,44\\ \mathrm{J}.
Interpretação: essa energia foi transformada em outras formas (calor, som, deformação, etc.).

Passo 9

Classificar a colisão e explicar sucintamente (parte d).
Observação baseada nos resultados:
  • O momento linear foi conservado (usamos isso).
  • A energia cinética total não foi conservada: K_f < K_i.
Conclusão: a colisão é inelástica. Como os corpos não ficaram juntos após a colisão (o carrinho leve retornou), não é uma colisão perfeitamente inelástica; é uma colisão parcialmente (ou simplesmente) inelástica. Explicação curta: parte da energia cinética foi convertida em energia interna, som, etc., por isso a energia cinética total diminuiu.

Passo 10

Resolver (e) caso em que os carrinhos ficam acoplados (colisão perfeitamente inelástica): encontrar velocidade final do conjunto.
Princípio: mesmo numa colisão perfeitamente inelástica, se não há forças externas horizontais, o momento total é conservado. Agora os dois se movem juntos com velocidade comum v_{\text{acopl}}.
Fórmula:
m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = (m_1 + m_2) v_{\text{acopl}}.
Isolando v_{\text{acopl}}:
v_{\text{acopl}} = \frac{m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i}}{m_1 + m_2}.

Passo 11

Calcular numericamente v_{\text{acopl}}.
Como v_{2,i}=0,
v_{\text{acopl}} = \frac{m_1 v_{1,i}}{m_1 + m_2} = \frac{0,20 \times 10,0}{0,20 + 2,0} = \frac{2,0}{2,20} = \frac{10}{11}\\ \mathrm{m/s}.
Valor decimal:
v_{\text{acopl}} \approx 0,91\\ \mathrm{m/s}
para a direita (positivo).

Resposta

(a) v_{2,f} = +1,40\\ \mathrm{m/s}
(b) K_i = 10,0\\ \mathrm{J} \quad K_f = 3,56\\ \mathrm{J}
(c) Energia dissipada = 6,44\\ \mathrm{J}
(d) Colisão inelástica (parcialmente inelástica): momento conservado, energia cinética não conservada; parte da energia foi dissipada em calor, som e deformação.
(e) v_{\text{acopl}} = \dfrac{10}{11}\\ \mathrm{m/s} \approx 0,91\\ \mathrm{m/s}

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