O rotor de um motor parte do repouso e gira com aceleração angular constante. Nos primeiros
, ele varre um ângulo total de 240 rad .
(a) Determine o módulo da aceleração angular e a velocidade angular média no intervalo.
(b) Calcule a velocidade angular instantânea ao final dos 6,0 s.
(c) Expresse essa velocidade angular final em rpm e compare com a rotação típica de 900 rpm para motores pequenos.
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, determine o ângulo adicional percorrido nos próximos
.
(e) Calcule o número total de voltas completas após os 12 s iniciais.
(a) Determine o módulo da aceleração angular e a velocidade angular média no intervalo.
(b) Calcule a velocidade angular instantânea ao final dos 6,0 s.
(c) Expresse essa velocidade angular final em rpm e compare com a rotação típica de 900 rpm para motores pequenos.
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, determine o ângulo adicional percorrido nos próximos
(e) Calcule o número total de voltas completas após os 12 s iniciais.
Passo 1
O enunciado diz: o rotor parte do repouso e gira com aceleração angular constante. Nos primeiros
ele varre um ângulo total de
. As perguntas são:
(a) Determinar o módulo da aceleração angular e a velocidade angular média no intervalo de .
(b) Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos .
(c) Expressar essa velocidade angular final em rpm e comparar com .
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, determinar o ângulo adicional percorrido nos próximos (ou seja, do tempo
até
).
(e) Calcular o número total de voltas completas após os iniciais.
(a) Determinar o módulo da aceleração angular e a velocidade angular média no intervalo de
(b) Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos
(c) Expressar essa velocidade angular final em rpm e comparar com
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, determinar o ângulo adicional percorrido nos próximos
(e) Calcular o número total de voltas completas após os
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A aceleração angular
é constante.
Passo 2
Para começar, vamos escrever a fórmula de cinemática angular válida quando a aceleração angular é constante. Ela é análoga à cinemática linear:
onde:
-
é o ângulo varrido em radianos no intervalo de duração , -
é a velocidade angular inicial em , -
é a aceleração angular (constante) em , -
é o tempo em segundos.
Também vamos precisar da relação entre velocidade angular instantânea e aceleração:
E a velocidade angular média num intervalo
é simplesmente
Vou usar essas fórmulas para resolver cada item passo a passo.
Passo 3
(a) Calcular o módulo da aceleração angular
.
Usando
com
,
e
:
Calculo o quadrado e o fator:
Logo
Em forma decimal periódica:
Ainda em (a), calcular a velocidade angular média no intervalo de
:
Comentário rápido: essa média é simplesmente o ângulo total dividido pelo tempo total — bem direto.
Passo 4
(b) Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos
.
Usamos
. Como
e
, com
:
(foi rápido porque
).
Passo 5
(c) Converter a velocidade angular final
para rpm.
Relação entre velocidade angular em rad/s e rotações por minuto (rpm):
- Uma volta completa equivale a
rad. - Se
está em , o número de voltas por segundo (Hz) é . - Para passar para rpm (voltas por minuto), multiplica-se por
:
Aplicando
:
Comparação com
:
é menor que
. Em porcentagem,
ou seja, cerca de
abaixo de
.
Passo 6
(d) Determinar o ângulo adicional percorrido nos próximos
(de
até
), mantendo a mesma aceleração.
Método 1 (usando velocidade inicial para o segundo intervalo): no início do segundo intervalo a velocidade angular é
. Para um intervalo
:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Somando:
Verificação alternativa (total em 12 s menos total em 6 s): total em
pela fórmula
(pois
):
Subtraindo os primeiros
obtém-se
, consistente.
Passo 7
(e) Calcular o número total de voltas completas após os
iniciais.
Já calculamos
. O número de voltas (em unidades de voltas, possivelmente fracionárias) é
O número de voltas completas (inteiras) é o piso desse valor:
Resposta
(a)
(b)
(c) (menor que
; cerca de
de
).
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)