O rotor de um motor parte do repouso e gira com aceleração angular constante. Nos primeiros 6,0 \mathrm{~s}, ele varre um ângulo total de 240 rad .
(a) Determine o módulo da aceleração angular e a velocidade angular média no intervalo.
(b) Calcule a velocidade angular instantânea ao final dos 6,0 s.
(c) Expresse essa velocidade angular final em rpm e compare com a rotação típica de 900 rpm para motores pequenos.
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, determine o ângulo adicional percorrido nos próximos 6,0 \mathrm{~s}.
(e) Calcule o número total de voltas completas após os 12 s iniciais.

Passo 1

O enunciado diz: o rotor parte do repouso e gira com aceleração angular constante. Nos primeiros \,6{,}0\\ \mathrm{s}\, ele varre um ângulo total de \,240\\ \mathrm{rad}\,. As perguntas são:
(a) Determinar o módulo da aceleração angular e a velocidade angular média no intervalo de \,6{,}0\\ \mathrm{s}\,.
(b) Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos \,6{,}0\\ \mathrm{s}\,.
(c) Expressar essa velocidade angular final em rpm e comparar com \,900\\ \mathrm{rpm}.
(d) Mantendo a mesma aceleração angular, determinar o ângulo adicional percorrido nos próximos \,6{,}0\\ \mathrm{s}\, (ou seja, do tempo \,6{,}0\\ \mathrm{s} até \,12{,}0\\ \mathrm{s}).
(e) Calcular o número total de voltas completas após os \,12\\ \mathrm{s} iniciais.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\theta_1 = 240\\ \mathrm{rad},\qquad t_1 = 6{,}0\\ \mathrm{s},\qquad \omega_0 = 0\\ \mathrm{rad/s}.
A aceleração angular \alpha é constante.

Passo 2

Para começar, vamos escrever a fórmula de cinemática angular válida quando a aceleração angular é constante. Ela é análoga à cinemática linear:
\theta(t) = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2,
onde:
  • \theta(t) é o ângulo varrido em radianos no intervalo de duração t,
  • \omega_0 é a velocidade angular inicial em \mathrm{rad/s},
  • \alpha é a aceleração angular (constante) em \mathrm{rad/s^2},
  • t é o tempo em segundos.
Também vamos precisar da relação entre velocidade angular instantânea e aceleração:
\omega(t) = \omega_0 + \alpha t.
E a velocidade angular média num intervalo \Delta t é simplesmente
\bar{\omega} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}.
Vou usar essas fórmulas para resolver cada item passo a passo.

Passo 3

(a) Calcular o módulo da aceleração angular \alpha.
Usando \theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2 com \omega_0=0, \theta=240\\ \mathrm{rad} e t=6{,}0\\ \mathrm{s}:
240 = 0 + \tfrac{1}{2}\alpha (6{,}0)^2.
Calculo o quadrado e o fator:
(6{,}0)^2 = 36,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot 36 = 18.
Logo
240 = 18\,\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{240}{18} = \frac{40}{3}\\ \mathrm{rad/s^2}.
Em forma decimal periódica:
\alpha = \frac{40}{3}\\ \mathrm{rad/s^2} \approx 13{,}3\overline{3}\\ \mathrm{rad/s^2}.
Ainda em (a), calcular a velocidade angular média no intervalo de \,6{,}0\\ \mathrm{s}\,:
\bar{\omega} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{240\\ \mathrm{rad}}{6{,}0\\ \mathrm{s}} = 40\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário rápido: essa média é simplesmente o ângulo total dividido pelo tempo total — bem direto.

Passo 4

(b) Calcular a velocidade angular instantânea ao final dos \,6{,}0\\ \mathrm{s}.
Usamos \omega(t) = \omega_0 + \alpha t. Como \omega_0=0 e \alpha=\tfrac{40}{3}\\ \mathrm{rad/s^2}, com t=6{,}0\\ \mathrm{s}:
\omega(6{,}0) = 0 + \frac{40}{3}\cdot 6{,}0 = \frac{40}{3}\cdot 6 = 40\cdot 2 = 80\\ \mathrm{rad/s}.
(foi rápido porque \tfrac{40}{3}\times 6 = 40\times 2).

Passo 5

(c) Converter a velocidade angular final \omega(6{,}0)=80\\ \mathrm{rad/s} para rpm.
Relação entre velocidade angular em rad/s e rotações por minuto (rpm):
  • Uma volta completa equivale a 2\pi rad.
  • Se \omega está em \mathrm{rad/s}, o número de voltas por segundo (Hz) é \dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Para passar para rpm (voltas por minuto), multiplica-se por 60:
\mathrm{rpm} = 60\cdot \frac{\omega}{2\pi} = \frac{30\,\omega}{\pi}.
Aplicando \omega=80\\ \mathrm{rad/s}:
\mathrm{rpm} = \frac{30\cdot 80}{\pi} = \frac{2400}{\pi}\\ \mathrm{rpm} \approx 763{,}94\\ \mathrm{rpm}.
Comparação com \,900\\ \mathrm{rpm}: \,763{,}94\\ \mathrm{rpm} é menor que \,900\\ \mathrm{rpm}. Em porcentagem,
\frac{763{,}94}{900}\approx 0{,}849 \Rightarrow 84{,}9\%\\ \text{de}\\\ 900\\ \mathrm{rpm},
ou seja, cerca de 136{,}06\\ \mathrm{rpm} abaixo de 900\\ \mathrm{rpm}.

Passo 6

(d) Determinar o ângulo adicional percorrido nos próximos \,6{,}0\\ \mathrm{s} (de t=6{,}0 até t=12{,}0\\ \mathrm{s}), mantendo a mesma aceleração.
Método 1 (usando velocidade inicial para o segundo intervalo): no início do segundo intervalo a velocidade angular é \omega_{\text{inicial}} = \omega(6{,}0)=80\\ \mathrm{rad/s}. Para um intervalo \Delta t=6{,}0\\ \mathrm{s}:
\Delta\theta_2 = \omega_{\text{inicial}}\Delta t + \tfrac{1}{2}\alpha (\Delta t)^2.
Substituindo:
\Delta\theta_2 = 80\cdot 6{,}0 + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{40}{3}\cdot 36.
Calcule passo a passo:
80\cdot 6{,}0 = 480,
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{40}{3}\cdot 36 = 18\cdot\frac{40}{3} = \frac{720}{3} = 240.
Somando:
\Delta\theta_2 = 480 + 240 = 720\\ \mathrm{rad}.
Verificação alternativa (total em 12 s menos total em 6 s): total em t=12{,}0\\ \mathrm{s} pela fórmula \theta = \tfrac{1}{2}\alpha t^2 (pois \omega_0=0):
\theta_{12} = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{40}{3}\cdot (12)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{40}{3}\cdot 144 = 72\cdot\frac{40}{3} = \frac{2880}{3} = 960\\ \mathrm{rad}.
Subtraindo os primeiros \,240\\ \mathrm{rad} obtém-se \,960-240=720\\ \mathrm{rad}, consistente.

Passo 7

(e) Calcular o número total de voltas completas após os \,12\\ \mathrm{s} iniciais.
Já calculamos \theta_{12} = 960\\ \mathrm{rad}. O número de voltas (em unidades de voltas, possivelmente fracionárias) é
N = \frac{\theta_{12}}{2\pi} = \frac{960}{2\pi} = \frac{480}{\pi} \approx 152{,}79\\ \text{voltas}.
O número de voltas completas (inteiras) é o piso desse valor:
\text{voltas completas} = 152\\ \text{voltas}.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha=\frac{40}{3}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx 13{,}3\overline{3}\\ \mathrm{rad/s^2},\qquad \bar{\omega}=40\\ \mathrm{rad/s}.
(b) \displaystyle \omega(6{,}0)=80\\ \mathrm{rad/s}.
(c) \displaystyle \omega(6{,}0)=\frac{2400}{\pi}\\ \mathrm{rpm}\approx 763{,}94\\ \mathrm{rpm} (menor que 900\\ \mathrm{rpm}; cerca de 84{,}9\% de 900\\ \mathrm{rpm}).
(d) \displaystyle \Delta\theta_{\text{próx }6\mathrm{s}}=720\\ \mathrm{rad}.ó
(e) \displaystyle N_{\text{total}}=\frac{480}{\pi}\approx 152{,}79\\ \text{voltas}\quad\Rightarrow\quad 152\\ \text{voltas completas}.

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