Dois candidatos, A e B, disputam a presidência de uma empresa.
A probabilidade de o candidato A vencer é de 0,60 , enquanto a probabilidade de B vencer é de 0,40 . Sabe-se também que: Se A vencer, a probabilidade de Heloísa ser promovida a diretora é de 0,75 . Se B vencer, essa probabilidade é de 0,20 . Após a eleição interna para a presidência de uma empresa, disputada pelos candidatos A e B, sabe-se que Heloísa foi promovida.
Qual é a probabilidade de que B tenha sido o vencedor da disputa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Probabilidade de o candidato A vencer: P(A)=0,60.
    • Probabilidade de o candidato B vencer: P(B)=0,40.
    • Se A vencer, probabilidade de Heloísa ser promovida: P(H\mid A)=0,75.
    • Se B vencer, probabilidade de Heloísa ser promovida: P(H\mid B)=0,20.
  • Pergunta que o enunciado faz:
    • Qual é a probabilidade de que B tenha sido o vencedor dado que Heloísa foi promovida? Ou seja, calcular P(B\mid H).

Passo 2

Explicação das ferramentas que vamos usar (com calma, tipo aula de bolso).
  • O que significa P(B\mid H): é a probabilidade de o evento B (B venceu) ocorrer sabendo que o evento H (Heloísa foi promovida) ocorreu.
  • Teorema de Bayes (ferramenta chave): para dois eventos B e H,
P(B\mid H)=\frac{P(H\mid B)\,P(B)}{P(H)}.
Aqui:
  • P(H\mid B) é a probabilidade de H ocorrer se B venceu (já dada).
  • P(B) é a probabilidade a priori de B vencer (já dada).
  • P(H) é a probabilidade total de Heloísa ser promovida — pode ocorrer tanto se A vence quanto se B vence. Para calcular P(H) usamos a lei da probabilidade total:
P(H)=P(H\mid A)\,P(A)+P(H\mid B)\,P(B).
Vou aplicar essas fórmulas com os números que temos.

Passo 3

Calcular P(H) pela lei da probabilidade total.
  • Primeiro termo: P(H\mid A)\,P(A)=0,75\cdot 0,60.
    • Calcule: 0,75\cdot 0,60 = 0,45.
  • Segundo termo: P(H\mid B)\,P(B)=0,20\cdot 0,40.
    • Calcule: 0,20\cdot 0,40 = 0,08.
  • Somando:
P(H)=0,45+0,08=0,53.
Interpretação: antes de saber quem ganhou, a probabilidade total de Heloísa ser promovida é 0,53 (53%).

Passo 4

Aplicar o Teorema de Bayes para obter P(B\mid H).
  • Numerador de Bayes: P(H\mid B)\,P(B)=0,20\cdot 0,40=0,08.
  • Denominador já calculado: P(H)=0,53.
Logo,
P(B\mid H)=\frac{0,08}{0,53}.
Podemos escrever a fração em forma inteira multiplicando por 100:
\frac{0,08}{0,53}=\frac{8}{53}.
Fazendo a divisão para obter decimal aproximado:
\frac{8}{53}\approx 0,150943\ldots \approx 0,151.
Interpretação em palavras: mesmo sabendo que Heloísa foi promovida, a probabilidade de que B tenha vencido é baixa — cerca de 15{,}1\%. Isso faz sentido porque a promoção é muito mais provável quando A vence (75%) e A tinha maior chance (60%) de vencer.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (bom hábito para prova):
  • Podemos também calcular P(A\mid H) para conferir que as probabilidades condicionais somam 1:
P(A\mid H)=\frac{P(H\mid A)P(A)}{P(H)}=\frac{0,45}{0,53}\approx0,849056\ldots\approx0,849.
E 0,849+0,151\approx1{,}000, ok — consistente.
Força aí — o método foi aplicar a lei total para achar P(H) e depois Bayes para inverter a condição.

Resposta

\dfrac{8}{53}\approx0,151

Exercícios relacionados