Dois candidatos, A e B, disputam a presidência de uma empresa.
A probabilidade de o candidato A vencer é de 0,60 , enquanto a probabilidade de B vencer é de 0,40 . Sabe-se também que: Se A vencer, a probabilidade de Heloísa ser promovida a diretora é de 0,75 . Se B vencer, essa probabilidade é de 0,20 . Após a eleição interna para a presidência de uma empresa, disputada pelos candidatos A e B, sabe-se que Heloísa foi promovida.
Qual é a probabilidade de que B tenha sido o vencedor da disputa?
A probabilidade de o candidato A vencer é de 0,60 , enquanto a probabilidade de B vencer é de 0,40 . Sabe-se também que: Se A vencer, a probabilidade de Heloísa ser promovida a diretora é de 0,75 . Se B vencer, essa probabilidade é de 0,20 . Após a eleição interna para a presidência de uma empresa, disputada pelos candidatos A e B, sabe-se que Heloísa foi promovida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (retirados do enunciado):
- Probabilidade de o candidato A vencer:
. - Probabilidade de o candidato B vencer:
. - Se A vencer, probabilidade de Heloísa ser promovida:
. - Se B vencer, probabilidade de Heloísa ser promovida:
.
- Probabilidade de o candidato A vencer:
-
Pergunta que o enunciado faz:
- Qual é a probabilidade de que B tenha sido o vencedor dado que Heloísa foi promovida? Ou seja, calcular
.
- Qual é a probabilidade de que B tenha sido o vencedor dado que Heloísa foi promovida? Ou seja, calcular
Passo 2
Explicação das ferramentas que vamos usar (com calma, tipo aula de bolso).
-
O que significa
: é a probabilidade de o evento (B venceu) ocorrer sabendo que o evento (Heloísa foi promovida) ocorreu. -
Teorema de Bayes (ferramenta chave): para dois eventos
e ,
Aqui:
-
é a probabilidade de H ocorrer se B venceu (já dada). -
é a probabilidade a priori de B vencer (já dada). -
é a probabilidade total de Heloísa ser promovida — pode ocorrer tanto se A vence quanto se B vence. Para calcular usamos a lei da probabilidade total:
Vou aplicar essas fórmulas com os números que temos.
Passo 3
Calcular
pela lei da probabilidade total.
-
Primeiro termo:
. - Calcule:
.
- Calcule:
-
Segundo termo:
. - Calcule:
.
- Calcule:
-
Somando:
Interpretação: antes de saber quem ganhou, a probabilidade total de Heloísa ser promovida é
(53%).
Passo 4
Aplicar o Teorema de Bayes para obter
.
-
Numerador de Bayes:
. -
Denominador já calculado:
.
Logo,
Podemos escrever a fração em forma inteira multiplicando por 100:
Fazendo a divisão para obter decimal aproximado:
Interpretação em palavras: mesmo sabendo que Heloísa foi promovida, a probabilidade de que B tenha vencido é baixa — cerca de
. Isso faz sentido porque a promoção é muito mais provável quando A vence (75%) e A tinha maior chance (60%) de vencer.
Passo 5
Verificação rápida de consistência (bom hábito para prova):
- Podemos também calcular
para conferir que as probabilidades condicionais somam 1:
E
, ok — consistente.
Força aí — o método foi aplicar a lei total para achar
e depois Bayes para inverter a condição.