(Questão - 1) O conteúdo líquido das garrafas de 300 ml de um refrigerante é normalmente distribuído com média \mathbf{= 3 0 0} \mathbf{~ m l} e variância =\mathbf{4} \mathbf{~ m l}^{\mathbf{2}}. Determine a probabilidade de uma garrafa selecionada ao acaso apresentar conteúdo entre 302 e 304 ml.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória que representa o conteúdo líquido X (em ml) de garrafas de refrigerante e pede a probabilidade de uma garrafa escolhida ao acaso ter conteúdo entre 302 e 304 ml. Informações fornecidas:
  • X é normalmente distribuída;
  • média \mu = 300 ml (peguei do enunciado);
  • variância \sigma^{2} = 4\\ \text{ml}^{2} (peguei do enunciado).
    O que se pede: calcular P(302 \le X \le 304).

Passo 2

Entendendo a distribuição normal e os parâmetros: a distribuição normal é descrita por dois parâmetros, a média \mu e o desvio-padrão \sigma. A variância é o quadrado do desvio-padrão:
\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}.
Aqui \sigma^{2}=4, então
\sigma = \sqrt{4}=2\\ \text{ml}.
Interpretação rápida: a média \mu=300 é o centro da distribuição; o desvio-padrão \sigma=2 mede a dispersão típica em ml.

Passo 3

Para calcular probabilidades com uma normal genérica usa-se a padronização para a normal padrão Z, que tem média 0 e desvio-padrão 1. A fórmula de padronização é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (conteúdo em ml),
  • \mu é a média ( 300 ml),
  • \sigma é o desvio-padrão ( 2 ml).
    A ideia é transformar o problema para Z e usar a tabela (ou função) da normal padrão.

Passo 4

Padronizando os extremos do intervalo 302 e 304:
z_{1}=\frac{302-300}{2}=\frac{2}{2}=1,
z_{2}=\frac{304-300}{2}=\frac{4}{2}=2.
Portanto o evento 302 \le X \le 304 corresponde a 1 \le Z \le 2.

Passo 5

Expressando a probabilidade em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi:
P(302 \le X \le 304)=P(1 \le Z \le 2)=\Phi(2)-\Phi(1).
Aqui \Phi(t)=P(Z\le t) é a probabilidade acumulada até t para Z.

Passo 6

Usando os valores tabelados (valores padrão da tabela da normal):
\Phi(1)=0,84134\quad\text{e}\quad \Phi(2)=0,97725.
Subtraindo:
\Phi(2)-\Phi(1)=0,97725-0,84134.
Fazendo a subtração passo a passo:
0,97725-0,84134=0,13591.
Arredondando razoavelmente, obtemos aproximadamente 0,1359.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de uma garrafa ter entre 302 e 304 ml é cerca de 0,1359, ou seja aproximadamente 13{,}59\%. Isso faz sentido: os valores 302 e 304 estão a 1 e 2 desvios-padrão acima da média; a probabilidade entre 1 e 2 desvios-padrão à direita da média é a diferença entre as áreas acumuladas mostradas.

Resposta

P(302 \le X \le 304)=0,13591\approx0,1359\\ (\text{aprox. }13{,}59\%)

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