Mostre que, de acordo com o modelo do elétron livre para a condução de corrente elétrica em metais e a física clássica, a resistividade dos metais é proporcional a \sqrt{T}, em que T é a temperatura em kelvins.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o modelo do elétron livre e argumentos clássicos, a resistividade dos metais é proporcional a \sqrt{T}, onde T é a temperatura em kelvins.
Informações dadas (implícitas no enunciado e que usaremos):
  • Trabalhar com o modelo do elétron livre (Drude clássico): elétrons livres em um metal que sofrem colisões esparsas.
  • Usar física clássica para obter dependências com a temperatura T.
  • Objetivo final: obter uma relação do tipo \rho \propto T^{\alpha} e mostrar que \alpha = \tfrac{1}{2}.

Passo 2

Escrever a relação básica entre resistividade e tempo médio entre colisões (fórmula de Drude).
A condutividade elétrica \sigma no modelo de Drude é dada por
\sigma = \frac{n e^{2} \tau}{m},
onde:
  • n é a densidade de elétrons livres (número de elétrons por volume),
  • e é a carga elementar,
  • m é a massa efetiva do elétron (aqui usamos m do elétron),
  • \tau é o tempo médio entre colisões (tempo de relaxação).
A resistividade \rho é o inverso da condutividade:
\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^{2} \tau}.
Portanto, para saber como \rho depende de T precisamos saber como \tau depende de T.

Passo 3

Relacionar o tempo médio entre colisões \tau com o caminho livre médio l e a velocidade média dos elétrons v.
Definição:
\tau = \frac{l}{v},
onde:
  • l é o caminho livre médio (distância média percorrida entre colisões),
  • v é uma velocidade típica dos elétrons (pode ser a velocidade média \langle v\rangle ou a velocidade rms v_{\text{rms}}; para proporcionalidades com T qualquer escolha dá o mesmo comportamento \propto\sqrt{T}).
Logo
\rho = \frac{m}{n e^{2}} \cdot \frac{1}{\tau} = \frac{m}{n e^{2}} \cdot \frac{v}{l}.
Para obter dependência em T basta analisar como v e l variam com T.

Passo 4

Determinar a dependência da velocidade média v com a temperatura usando a termodinâmica clássica (equipartição).
Pelo teorema da equipartição (clássico), a energia cinética média tridimensional por partícula é
\frac{1}{2} m \langle v^{2}\rangle = \frac{3}{2} k_{B} T,
onde k_{B} é a constante de Boltzmann. Deste modo a velocidade característica (velocidade rms) é
v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^{2}\rangle} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}.
Isso mostra, essencialmente, que a velocidade típica escala como
v \propto \sqrt{T}.
(Observação: constantes numéricas como \sqrt{3} não importam quando apenas buscamos a dependência em T.)

Passo 5

Argumentar a dependência do caminho livre médio l com T no quadro clássico simples pedido pelo enunciado.
No modelo clássico elementar do elétron livre que o enunciado parece pedir, costuma-se assumir que o caminho livre médio l é aproximadamente constante com a temperatura: l \approx ordem do espaçamento interatômico ou controlado por defeitos e impurezas, que não mudam muito com T. Em palavras: cada vez que o elétron “encontra” um íon da rede ele sofre uma colisão; a distância entre íons na rede cristalina não varia fortemente com a temperatura (no modelo simplificado tomamos l como aproximadamente constante).
Portanto, para este argumento clássico e simples,
l \approx \text{constante w.r.t. }T.
(Se quiséssemos incluir o efeito das vibrações térmicas dos íons a análise muda e o resultado pode ser diferente — isto será comentado depois — mas para o enunciado usaremos a hipótese de l aproximadamente constante.)

Passo 6

Combinar as dependências e obter a lei para \rho(T).
Recapitulando as relações importantes:
\rho = \frac{m}{n e^{2}} \cdot \frac{v}{l}, \qquad v \propto \sqrt{T}, \qquad l \approx \text{constante}.
Substituindo a dependência de v e a aproximação para l obtemos
\rho \propto v \propto \sqrt{T}.
Logo, no modelo do elétron livre com física clássica (equipartição para velocidade) e assumindo caminho livre médio praticamente constante, a resistividade escala como
\rho(T) \propto \sqrt{T}.

Passo 7

Explicação física, ressalvas e resumo didático (para você levar pra prova com segurança).
Resumo didático do raciocínio (forma curta e memorizável):
  • A fórmula de Drude dá \rho \propto 1/\tau.
  • A relação cinemática simples dá \tau = l/v.
  • Pela equipartição clássica v \propto \sqrt{T}.
  • Se l é aproximadamente constante, então \tau \propto 1/\sqrt{T} e assim \rho \propto \sqrt{T}.
Ressalvas importantes (não esquece na prova se pedirem justificações):
  • Essa demonstração é clássica e simplificada. Na física real dos metais, os elétrons formam um gás degenerado (Fermi–Dirac) e a teoria quântica e o espalhamento por fônons levam a outras dependências (por exemplo, em muitos metais a resistividade varia aproximadamente como T a temperaturas altas, e como T^{5} a baixíssimas temperaturas — isso vem da teoria de Bloch–Grüneisen e do comportamento quântico dos elétrons e dos fônons).
  • O passo crítico da dedução foi assumir l praticamente constante. Se permitir que l varie com T (por exemplo, por aumentar a amplitude das vibrações da rede), o expoente pode mudar.

Resposta

\rho \propto \sqrt{T}

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