Mostre que, de acordo com o modelo do elétron livre para a condução de corrente elétrica em metais e a física clássica, a resistividade dos metais é proporcional a
, em que T é a temperatura em kelvins.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o modelo do elétron livre e argumentos clássicos, a resistividade dos metais é proporcional a
, onde
é a temperatura em kelvins.
Informações dadas (implícitas no enunciado e que usaremos):
- Trabalhar com o modelo do elétron livre (Drude clássico): elétrons livres em um metal que sofrem colisões esparsas.
- Usar física clássica para obter dependências com a temperatura
. - Objetivo final: obter uma relação do tipo
e mostrar que .
Passo 2
Escrever a relação básica entre resistividade e tempo médio entre colisões (fórmula de Drude).
A condutividade elétrica
no modelo de Drude é dada por
onde:
-
é a densidade de elétrons livres (número de elétrons por volume), -
é a carga elementar, -
é a massa efetiva do elétron (aqui usamos do elétron), -
é o tempo médio entre colisões (tempo de relaxação).
A resistividade
é o inverso da condutividade:
Portanto, para saber como
depende de
precisamos saber como
depende de
.
Passo 3
Relacionar o tempo médio entre colisões
com o caminho livre médio
e a velocidade média dos elétrons
.
Definição:
onde:
-
é o caminho livre médio (distância média percorrida entre colisões), -
é uma velocidade típica dos elétrons (pode ser a velocidade média ou a velocidade rms ; para proporcionalidades com qualquer escolha dá o mesmo comportamento ).
Logo
Para obter dependência em
basta analisar como
e
variam com
.
Passo 4
Determinar a dependência da velocidade média
com a temperatura usando a termodinâmica clássica (equipartição).
Pelo teorema da equipartição (clássico), a energia cinética média tridimensional por partícula é
onde
é a constante de Boltzmann. Deste modo a velocidade característica (velocidade rms) é
Isso mostra, essencialmente, que a velocidade típica escala como
(Observação: constantes numéricas como
não importam quando apenas buscamos a dependência em
.)
Passo 5
Argumentar a dependência do caminho livre médio
com
no quadro clássico simples pedido pelo enunciado.
No modelo clássico elementar do elétron livre que o enunciado parece pedir, costuma-se assumir que o caminho livre médio
é aproximadamente constante com a temperatura:
ordem do espaçamento interatômico ou controlado por defeitos e impurezas, que não mudam muito com
. Em palavras: cada vez que o elétron “encontra” um íon da rede ele sofre uma colisão; a distância entre íons na rede cristalina não varia fortemente com a temperatura (no modelo simplificado tomamos
como aproximadamente constante).
Portanto, para este argumento clássico e simples,
(Se quiséssemos incluir o efeito das vibrações térmicas dos íons a análise muda e o resultado pode ser diferente — isto será comentado depois — mas para o enunciado usaremos a hipótese de
aproximadamente constante.)
Passo 6
Combinar as dependências e obter a lei para
.
Recapitulando as relações importantes:
Substituindo a dependência de
e a aproximação para
obtemos
Logo, no modelo do elétron livre com física clássica (equipartição para velocidade) e assumindo caminho livre médio praticamente constante, a resistividade escala como
Passo 7
Explicação física, ressalvas e resumo didático (para você levar pra prova com segurança).
Resumo didático do raciocínio (forma curta e memorizável):
- A fórmula de Drude dá
. - A relação cinemática simples dá
. - Pela equipartição clássica
. - Se
é aproximadamente constante, então e assim .
Ressalvas importantes (não esquece na prova se pedirem justificações):
- Essa demonstração é clássica e simplificada. Na física real dos metais, os elétrons formam um gás degenerado (Fermi–Dirac) e a teoria quântica e o espalhamento por fônons levam a outras dependências (por exemplo, em muitos metais a resistividade varia aproximadamente como
a temperaturas altas, e como a baixíssimas temperaturas — isso vem da teoria de Bloch–Grüneisen e do comportamento quântico dos elétrons e dos fônons). - O passo crítico da dedução foi assumir
praticamente constante. Se permitir que varie com (por exemplo, por aumentar a amplitude das vibrações da rede), o expoente pode mudar.