Dois capacitores de placas paralelas idênticos, de capacitância 100 mu F, recebem cargas iguais de 100 mu C cada e são então removidos da fonte de carga. Os capacitores carregados são conectados por um fio entre suas placas positivas, e por outro fio entre suas placas negativas. (a) Qual é a energia armazenada do sistema?
Um dielétrico que tem uma constante dielétrica de kappa=2 é inserido entre as placas de um dos capacitores, de modo que ele preencha completamente a região entre as placas. (b) Qual é a carga final em cada capacitor? (c) Qual é a energia armazenada final do sistema?

Passo 1

O enunciado trata de dois capacitores de placas paralelas idênticos, cada um com capacitância C=100 mu F. Inicialmente eles são isoladamente carregados com cargas Q1=Q2=100 mu C, depois removidos da fonte e ligados em paralelo (placa positiva em placa positiva e negativa em negativa). Vamos calcular (a) a energia armazenada nesse sistema antes de inserir qualquer dielétrico, depois inserir um dielétrico de constante kappa=2 num dos capacitores e determinar (b) a carga final em cada um e (c) a nova energia armazenada. Para isso usaremos:
– energia de um capacitor isolado U=Q^22C
– capacitância com dielétrico C'=kappa,C
– em ligação em paralelo as capacitâncias somam e a carga total se conserva

Passo 2

Antes de qualquer dielétrico cada capacitor tem energia
Ui=Q^22C
substituindo Q=100times10^-6, C e C=100times10^-6, F,
Ui=(100times10^-6)^22,(100times10^-6) =10^-82times10^-4=5times10^-5, J
Como são dois capacitores idênticos, a energia total inicial é
Uinicial=2,Ui=2times5times10^-5=1,0times10^-4, J

Passo 3

Quando se ligam positivos com positivos e negativos com negativos, cada capacitor está a mesma tensão inicial
V=QC=100,mu C100,mu F=1 V,
logo não há redistribuição de carga e a energia não muda.
Portanto, a energia armazenada do sistema antes do dielétrico é
boxedU(a)=1,0times10^-4, J

Passo 4

Agora insere-se um dielétrico kappa=2 em um dos capacitores. As novas capacitâncias são
C1'=kappa,C=2times100,mu F=200,mu F, C2=100,mu F
Como continuam ligados em paralelo, a carga total positiva se conserva:
Qtot=Q1+Q2=100,mu C+100,mu C=200,mu C
A tensão comum Vf passa a ser
Vf=QtotC1'+C2 =200,mu C200,mu F+100,mu F =200times10^-6300times10^-6=0,6667 V

Passo 5

As cargas finais em cada capacitor são
Q1' = C1',Vf = 200,mu Ftimes0,6667, V =133,3,mu C,
Q2' = C2,Vf = 100,mu Ftimes0,6667, V =66,7,mu C
Portanto,
boxedQ1,(b)=133,3,mu C, Q2,(b)=66,7,mu C

Passo 6

A energia final do sistema é
Uf =12,C1',Vf^2+12,C2,Vf^2 =12,(C1'+C2),Vf^2
=12,(300,mu F),(0,6667, V)^2 =0,5times300times10^-6times0,4444 =6,67times10^-5, J
Assim,
boxedU(c)=6,67times10^-5, J

Resposta

(a) 1,0times10^-4, J
(b) Q1=133,3,mu C, Q2=66,7,mu C
(c) 6,67times10^-5, J

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