Um corpo de 1,2 kg está pendurado em certa mola vertical cuja constante de força é de 3 0 0 N / m e oscila com velocidade máxima de 30 cm / s. (a) Qual o deslocamento máximo do corpo? Quando o corpo estiver no ponto de deslocamento máximo para baixo, calcular (b) a energia total do sistema, (c) a energia potencial gravitacional e (d) a energia potencial da mola. (Seja U=0 na posição de equilíbrio do corpo pendurado na mola.) Resp.: a) A=1 , 9 0 c m ; b ) ET=- 0 , 1 6 9 J ; c ) Eg=- 0 , 2 2 3 J; d) E el = 0,0541 J
29) Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude A, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? (c) Com qual deslocamento, em termos da amplitude, a energia do sistema é metade cinética e metade potencial? Resp.: a) Ec=ET / 4 ; b) EP=3 ET / 4 ; c) x=A / raiz 2

Passo 1

Resumindo, temos um corpo de massa m=1,2:kg pendurado numa mola vertical de constante k=300:N/m. Saiba-se que a velocidade máxima no movimento é vmax=0,30:m/s e que definimos a energia potencial gravitacional Ug=0 na posição de equilíbrio. Vamos usar conservação de energia entre o ponto de equilíbrio e o ponto de máximo deslocamento x=A e depois calcular as energias em x=A.

Passo 2

No instante em que o corpo passa pela posição de equilíbrio ( x=0), toda a energia está na forma cinética máxima:
ET=tfrac12 m vmax^2
Em x=A (velocidade nula) essa energia virou energia potencial elástica:
ET=tfrac12 k A^2
Igualando, temos
tfrac12 m vmax^2 = tfrac12 k A^2 Longrightarrow A = vmaxraizmk

Passo 3

Substituindo valores:
A = 0,30:m/s,raiz1,2:kg300:N/m =0,30raiz0,004:m approx0,01897:m =1,90:cm

Passo 4

No ponto x=A temos:
  • Energia total ET igual à energia no equilíbrio:
ET=tfrac12 m vmax^2 =tfrac12cdot1,2cdot(0,30)^2 =0,054:J
Mas cuidado: como escolhemos Ug=0 no equilíbrio, ao descer A existe energia potencial gravitacional negativa:
Eg=-m g A =-1,2cdot9,8cdot0,01897 approx -0,223:J
A energia elástica em x=A é
Eel=tfrac12 k A^2 =tfrac12cdot300cdot(0,01897)^2 approx0,0541:J
Logo a energia total também é
ET=Eg+Eel approx -0,223 +0,0541 =-0,169:J

Passo 5

Agora, para o MHS massa-mola genérico, queremos saber o que acontece em x=tfrac12A, onde A é a amplitude. A energia total ET vale sempre tfrac12kA^2. Em x qualquer, a energia potencial elástica é tfrac12kx^2 e a cinética é Ec=ET-tfrac12kx^2.

Passo 6

Em x=tfrac12A, calculemos a fração de energia elástica:
Eel=tfrac12kl(tfrac A2r)^2 =tfrac12kA^24 =kA^28 =14ET
Logo a fração cinética é
Ec=ET-Eel =ET-tfrac14ET =tfrac34ET

Passo 7

Para achar x em que Ec=Eel=tfrac12ET, basta resolver
tfrac12kx^2 = tfrac12ET = tfrac14kA^2 Longrightarrow x^2=A^22 Longrightarrow x=Araiz2

Resposta

a) Ec=tfrac34ET
b) Eel=tfrac14ET
c) x=tfracAraiz2

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