Um disco circular uniforme de raio está suspenso, como um pêndulo físico, de um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial há um ponto de suspensão que origina o mesmo período? Resp.: a)

Passo 1

O enunciado descreve um disco circular uniforme de raio R suspenso como pêndulo físico por um ponto na sua borda. Precisamos (a) encontrar o período de pequenas oscilações e (b) achar outra posição de suspensão, a uma distância radial r<R do centro, que dê o mesmo período. Para isso vamos usar o momento de inércia do disco, o teorema dos eixos paralelos e a fórmula do período do pêndulo físico em pequena oscilação.

Passo 2

Primeiro calculamos o momento de inércia do disco em relação ao ponto de suspensão na borda. O momento de inércia em torno do centro de massa é
Irm cm=tfrac12,mR^2
Pelo teorema dos eixos paralelos, ao deslocar o eixo para a borda (distância R do centro), obtemos
I = Irm cm + mR^2 = tfrac12,mR^2 + mR^2 = tfrac32,mR^2

Passo 3

Para pequenas oscilações o período do pêndulo físico é
T = 2piraizImg,d,
onde d é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão, aqui d=R. Substituindo
T = 2piraiztfrac32,mR^2m g,R = 2piraiz3R2g

Passo 4

Agora consideramos um ponto de suspensão a uma distância genérica r do centro. O momento de inércia em relação a esse ponto é
I(r)=Irm cm+mr^2=tfrac12,mR^2 + m r^2,
e a distância do centro de massa ao pivô é d=r. Logo o período em função de r é
T(r)=2piraiztfrac12,mR^2 + m r^2m g,r =2piraiztfrac12,R^2 + r^2g,r

Passo 5

Igualamos T(r) ao período na borda T(R)=2piraiz3R/(2g). Eliminando o fator 2pi e elevando ao quadrado:
tfrac12R^2 + r^2r =3R2 Longrightarrow r^2 - tfrac32R,r + tfrac12R^2 = 0
Resolvendo a equação quadrática em r surgem as raízes r=R (o caso já conhecido) e
r=R2

Resposta

a) T=2piraiz3R2g
b) r=R2

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