Um disco circular uniforme de raio
está suspenso, como um pêndulo físico, de um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial
há um ponto de suspensão que origina o mesmo período? Resp.: a)
Passo 1
O enunciado descreve um disco circular uniforme de raio
suspenso como pêndulo físico por um ponto na sua borda. Precisamos (a) encontrar o período de pequenas oscilações e (b) achar outra posição de suspensão, a uma distância radial
do centro, que dê o mesmo período. Para isso vamos usar o momento de inércia do disco, o teorema dos eixos paralelos e a fórmula do período do pêndulo físico em pequena oscilação.
Passo 2
Primeiro calculamos o momento de inércia do disco em relação ao ponto de suspensão na borda. O momento de inércia em torno do centro de massa é
Pelo teorema dos eixos paralelos, ao deslocar o eixo para a borda (distância
do centro), obtemos
Passo 3
Para pequenas oscilações o período do pêndulo físico é
onde
é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão, aqui
. Substituindo
Passo 4
Agora consideramos um ponto de suspensão a uma distância genérica
do centro. O momento de inércia em relação a esse ponto é
e a distância do centro de massa ao pivô é
. Logo o período em função de
é
Passo 5
Igualamos
ao período na borda
. Eliminando o fator
e elevando ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática em
surgem as raízes
(o caso já conhecido) e
Resposta
a)
b)
b)