Dois capacitores de placas paralelas são ligados em paralelo a uma bateria. A área do capacitor 1 é 1,5 \mathrm{~cm}^{2} e o campo elétrico entre suas placas (condutoras) é 2000 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. A área das placas do capacitor 2 é 0,7 \mathrm{~cm}^{2} e o campo elétrico entre suas placas é 1500 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Qual é a carga total dos dois capacitores?

Passo 1

O enunciado dá dois capacitores de placas paralelas ligados em paralelo a uma bateria e pede a carga total nos dois. As informações fornecidas são:
  • Área do capacitor 1: A_1 = 1,5\\ \mathrm{cm}^2.
  • Campo elétrico entre as placas do capacitor 1: E_1 = 2000\\ \mathrm{V/m}.
  • Área do capacitor 2: A_2 = 0,7\\ \mathrm{cm}^2.
  • Campo elétrico entre as placas do capacitor 2: E_2 = 1500\\ \mathrm{V/m}.
O que se pede: a carga total Q_{\text{total}} armazenada nos dois capacitores (soma das cargas de cada capacitor).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas que usamos (passo a passo, bem devagarinho).
  • Definição básica: a carga num capacitor é Q = C\,V, onde Q é a carga (em coulomb), C a capacitância (em farad) e V a diferença de potencial entre as placas (em volt).
  • Para um capacitor de placas paralelas a capacitância é dada por C = \varepsilon_0 \dfrac{A}{d}, onde:
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0 \approx 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m});
    • A é a área das placas (em \mathrm{m}^2);
    • d é a separação entre as placas (em m).
  • O campo elétrico uniforme entre placas planas está relacionado à diferença de potencial por E = \dfrac{V}{d}. Isolando V temos V = E\,d.
  • Substituindo C e V em Q=C\,V obtemos uma expressão muito útil que elimina d: Q = C\,V = \left(\varepsilon_0 \dfrac{A}{d}\right) (E\,d) = \varepsilon_0\,A\,E.Ou seja, para um capacitor de placas paralelas a carga pode ser calculada diretamente por Q = \varepsilon_0\,A\,E.
  • Nota importante (dica de prova): essa última fórmula é prática quando se conhece o campo E entre as placas — não é preciso saber d nem V.

Passo 3

Converter as áreas de \mathrm{cm}^2 para \mathrm{m}^2 (sempre mantenha unidades SI nas contas).
  • 1\\ \mathrm{cm}^2 = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • Portanto A_1 = 1,5\\ \mathrm{cm}^2 = 1,5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, \qquad A_2 = 0,7\\ \mathrm{cm}^2 = 0,7\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a carga do capacitor 1 usando Q_1 = \varepsilon_0\,A_1\,E_1.
  • Primeiro calcule A_1 E_1: A_1 E_1 = \left(1,5\times10^{-4}\right)\times2000 = 0,3.
  • Agora multiplica por \varepsilon_0: Q_1 = \varepsilon_0\,A_1\,E_1 = \left(8,85\times10^{-12}\right)\times0,3 = 2,655\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a carga do capacitor 2 usando Q_2 = \varepsilon_0\,A_2\,E_2.
  • Primeiro calcule A_2 E_2: A_2 E_2 = \left(0,7\times10^{-4}\right)\times1500 = 0,105.
  • Agora multiplica por \varepsilon_0: Q_2 = \varepsilon_0\,A_2\,E_2 = \left(8,85\times10^{-12}\right)\times0,105 = 9,2925\times10^{-13}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Somar as duas cargas para obter a carga total:
  • Escrevendo ambas em potências de dez comparáveis: Q_1 = 2,655\times10^{-12}\\ \mathrm{C},\qquad Q_2 = 0,92925\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
  • Soma: Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 2,655\times10^{-12} + 0,92925\times10^{-12} = 3,58425\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
  • Arredondando para três algarismos significativos (bom compromisso entre precisão e dados fornecidos): Q_{\text{total}} \approx 3,58\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
  • Em unidades mais intuitivas: 1\\ \mathrm{pC}=10^{-12}\\ \mathrm{C}, logo Q_{\text{total}} \approx 3,58\\ \mathrm{pC}.

Passo 7

Resumo rápido e dica de prova: quando der campo elétrico E entre placas, use direto Q=\varepsilon_0 A E. Se pedirem só a carga total em capacitores em paralelo, some as cargas individuais (ou calcule Q_{\text{total}}=\varepsilon_0(E_1A_1+E_2A_2) de uma vez). Vai dar sempre certo e é rápido na prova. Força aí — já está andando!

Resposta

Q_{\text{total}} = 3,58\times10^{-12}\\ \mathrm{C} (aprox. 3,58\\ \mathrm{pC})

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