(5 pontos) Um tanque de volume total igual a 350 L contém, inicialmente, uma mistura de 300 Litros de água e 50 Kg de Sal. Uma vazăo de 3 Litros/min de uma soluçăo salina (Concentração de 2 Kg de Sal por Litro de Solução) é bombeada para o tanque ao mesmo tempo em que uma vazăo de 2 Litros/min é bombeada para fora do tanque. Admitindo mistura completa e homogênea, determine a concentração de sal (em Kg/L),
vixysa de entrucla 1 ( uma) hora após o início dos bombeamentos
vixysa de entrucla 1 ( uma) hora após o início dos bombeamentos
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Volume total do tanque:
(capacidade máxima). - Volume inicial de água (mistura) no tanque:
. - Massa inicial de sal no tanque:
. - Vazão de entrada:
de solução com concentração de . - Vazão de saída:
. - Admitir mistura completa e homogênea durante todo o processo.
O que o enunciado pede:
- Determinar a concentração de sal (em
) uma hora após o início dos bombeamentos.
Observação: uma hora corresponde aminutos.
Passo 2
Definir variáveis e escrever o volume do tanque em função do tempo (importante porque o volume muda).
- Seja
a massa de sal (em ) no tanque no instante (com em minutos). - O volume do líquido no tanque varia com o fluxo líquido de entrada menos saída. A vazão líquida é
. - Portanto o volume
é
porque em
temos
e a cada minuto entra líquido líquido líquido
.
Passo 3
Montar a equação de balanço para a massa de sal: variação de
= entrada de sal − saída de sal.
- Taxa de entrada de sal: vazão de entrada
concentração da entrada . - Concentração instantânea dentro do tanque é
( ). - Taxa de saída de sal: vazão de saída
concentração no tanque ( ).
Logo a equação diferencial é
Passo 4
Colocar a equação na forma linear padrão e explicar o método de fator integrante (a técnica que vamos usar).
A forma padrão é
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma
. O método do fator integrante diz para multiplicar por
Aqui
. Vamos calcular
.
Passo 5
Calcular o fator integrante
.
Explicação rápida:
, multiplicando por
e exponenciando resulta em
.
Passo 6
Multiplicar a equação pela
e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando:
O segundo termo simplifica e a soma dos dois termos à esquerda é a derivada do produto:
Passo 7
Integrar ambos os lados em relação a
de
até
, e aplicar condição inicial
.
Integrando:
Calcular a integral no lado direito:
Aplicando os limites:
Isolando
:
Passo 8
Calcular
(uma hora =
minutos). Substituir
,
.
Primeiro calcular números úteis:
Agora o numerador:
Somando:
Dividindo pelo denominador:
Fazendo a divisão:
(Se preferir em fração simplificada obtém-se
kg, que dá o mesmo valor decimal.)
Passo 9
Calcular a concentração de sal (kg/L) no instante
: concentração
com
.
Também pode ser escrita como fração:
Pequeno comentário de incentivo: deu um pouco de conta, mas o método é padrão — sempre montar o balanço massa/fluxo, obter a ODE linear, usar fator integrante e aplicar condição inicial. Isso resolve grande parte dos problemas de tanques que mudam de volume.