(5 pontos) Um tanque de volume total igual a 350 L contém, inicialmente, uma mistura de 300 Litros de água e 50 Kg de Sal. Uma vazăo de 3 Litros/min de uma soluçăo salina (Concentração de 2 Kg de Sal por Litro de Solução) é bombeada para o tanque ao mesmo tempo em que uma vazăo de 2 Litros/min é bombeada para fora do tanque. Admitindo mistura completa e homogênea, determine a concentração de sal (em Kg/L),
vixysa de entrucla 1 ( uma) hora após o início dos bombeamentos

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Volume total do tanque: 350\\ \text{L} (capacidade máxima).
  • Volume inicial de água (mistura) no tanque: 300\\ \text{L}.
  • Massa inicial de sal no tanque: 50\\ \text{kg}.
  • Vazão de entrada: 3\\ \text{L/min} de solução com concentração de 2\\ \text{kg/L}.
  • Vazão de saída: 2\\ \text{L/min}.
  • Admitir mistura completa e homogênea durante todo o processo.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a concentração de sal (em \text{kg/L}) uma hora após o início dos bombeamentos.
    Observação: uma hora corresponde a 60 minutos.

Passo 2

Definir variáveis e escrever o volume do tanque em função do tempo (importante porque o volume muda).
  • Seja S(t) a massa de sal (em \text{kg}) no tanque no instante t (com t em minutos).
  • O volume do líquido no tanque varia com o fluxo líquido de entrada menos saída. A vazão líquida é 3-2=1\\ \text{L/min}.
  • Portanto o volume V(t) é
V(t)=300+t,
porque em t=0 temos 300\\ \text{L} e a cada minuto entra líquido líquido líquido +1\\ \text{L}.

Passo 3

Montar a equação de balanço para a massa de sal: variação de S(t) = entrada de sal − saída de sal.
  • Taxa de entrada de sal: vazão de entrada \times concentração da entrada =3\cdot 2=6\\ \text{kg/min}.
  • Concentração instantânea dentro do tanque é \dfrac{S(t)}{V(t)}=\dfrac{S(t)}{300+t} ( \text{kg/L}).
  • Taxa de saída de sal: vazão de saída \times concentração no tanque =2\cdot \dfrac{S(t)}{300+t} ( \text{kg/min}).
Logo a equação diferencial é
\frac{dS}{dt}=6-2\frac{S}{300+t}.

Passo 4

Colocar a equação na forma linear padrão e explicar o método de fator integrante (a técnica que vamos usar).
A forma padrão é
\frac{dS}{dt}+\frac{2}{300+t}\,S=6.
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma \dfrac{dS}{dt}+p(t)S=q(t). O método do fator integrante diz para multiplicar por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui p(t)=\dfrac{2}{300+t}. Vamos calcular \mu(t).

Passo 5

Calcular o fator integrante \mu(t).
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{2}{300+t}\,dt\right) =\exp\!\left(2\ln(300+t)\right)=(300+t)^2.
Explicação rápida: \int \dfrac{1}{300+t}\,dt=\ln(300+t), multiplicando por 2 e exponenciando resulta em (300+t)^2.

Passo 6

Multiplicar a equação pela \mu(t) e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando:
(300+t)^2\frac{dS}{dt}+ (300+t)^2\frac{2}{300+t}S = 6(300+t)^2.
O segundo termo simplifica e a soma dos dois termos à esquerda é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\!\big(S(300+t)^2\big)=6(300+t)^2.

Passo 7

Integrar ambos os lados em relação a t de 0 até t, e aplicar condição inicial S(0)=50.
Integrando:
S(300+t)^2 - S(300)^2 = \int_{0}^{t} 6(300+u)^2\,du.
Calcular a integral no lado direito:
\int 6(300+u)^2\,du = 6\cdot\frac{(300+u)^3}{3}=2(300+u)^3.
Aplicando os limites:
S(300+t)^2 - 50\cdot 300^2 = 2\big[(300+t)^3 - 300^3\big].
Isolando S(t):
S(t)=\frac{50\cdot 300^2 + 2\big[(300+t)^3-300^3\big]}{(300+t)^2}.

Passo 8

Calcular S(60) (uma hora = 60 minutos). Substituir t=60, 300+60=360.
Primeiro calcular números úteis:
300^2=90\,000,\qquad 300^3=27\,000\,000,
360^2=129\,600,\qquad 360^3=46\,656\,000.
Agora o numerador:
50\cdot 300^2 = 50\cdot 90\,000 = 4\,500\,000,
2\big(360^3-300^3\big)=2\big(46\,656\,000-27\,000\,000\big)=2\cdot 19\,656\,000=39\,312\,000.
Somando:
\text{numerador}=4\,500\,000+39\,312\,000=43\,812\,000.
Dividindo pelo denominador:
S(60)=\frac{43\,812\,000}{129\,600}.
Fazendo a divisão:
S(60)=338,055555\ldots\\ \text{kg}.
(Se preferir em fração simplificada obtém-se S(60)=\dfrac{60\,85}{18}= \dfrac{6085}{18} kg, que dá o mesmo valor decimal.)

Passo 9

Calcular a concentração de sal (kg/L) no instante t=60: concentração C(60)=\dfrac{S(60)}{V(60)} com V(60)=360\\ \text{L}.
C(60)=\frac{S(60)}{360}=\frac{338,055555\ldots}{360}\approx 0,9390432\\ \text{kg/L}.
Também pode ser escrita como fração:
C(60)=\frac{6085}{6480}\approx 0,93904\\ \text{kg/L}.
Pequeno comentário de incentivo: deu um pouco de conta, mas o método é padrão — sempre montar o balanço massa/fluxo, obter a ODE linear, usar fator integrante e aplicar condição inicial. Isso resolve grande parte dos problemas de tanques que mudam de volume.

Resposta

0,93904\\ \text{kg/L}

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