( 1,0 ponto) Encontre a série de Fourier da função definida por f(x)=2 x. no intervalo [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • A função é f(x)=2x, definida no intervalo [- \pi,\pi].
  • O objetivo é encontrar a série de Fourier de f nesse intervalo, ou seja, escrever f(x) como uma soma infinita do tipo
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O intervalo de expansão é simétrico: [- \pi,\pi].
  • A função dada é f(x)=2x em todo o intervalo.

Passo 2

Fórmulas gerais da série de Fourier em [- \pi,\pi] (explicando cada símbolo):
  • A série tem a forma
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
  • Os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge1.
Explicação das variáveis e operações:
  • f(x) é a função que estamos expandindo (aqui f(x)=2x).
  • \cos(nx) e \sin(nx) são as funções trigonométricas que formam a base ortogonal.
  • As integrais calculam quanto de cada componente (cosseno ou seno) aparece em f.
    Observação útil (paridade): se f for função ímpar ( f(-x)=-f(x)), então todos os a_0 e a_n serão zero e só sobram termos senoidais b_n\sin(nx). Se f for par ( f(-x)=f(x)), então todos os b_n serão zero. Esta observação simplifica muito os cálculos quando aplicável.

Passo 3

Verificar a paridade de f(x)=2x e calcular a_0.
  • Checando paridade: \,f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x). Portanto f é ímpar.
  • Consequência imediata: as integrais de uma função ímpar vezes uma função par (como \cos(nx)) sobre um intervalo simétrico se anulam; as integrais da função ímpar vezes outra função ímpar (como \sin(nx)) são funções pares, e normalmente não se anulam automaticamente.
  • Calcular a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x\,dx.
Como 2x é ímpar, a integral simétrica é zero. Então
a_0=0.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1.
  • Fórmula:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x\cos(nx)\,dx.
  • Observação de paridade: \cos(nx) é função par e 2x é ímpar, logo o produto 2x\cos(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em [- \pi,\pi] é zero.
  • Portanto, para todo n\ge1,
a_n=0.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1.
  • Fórmula:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx)\,dx.
  • Paridade do integrando: \sin(nx) é ímpar e 2x é ímpar, então 2x\sin(nx) é par. Para função par, podemos dobrar a integral de 0 a \pi:
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi} 2x\sin(nx)\,dx=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
  • Agora calcular I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes. Escolhendo:
    • u=x então du=dx.
    • dv=\sin(nx)\,dx então v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}.
      Aplicando integração por partes:
I_n=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
  • Avaliar os termos:
    • Termo de borda:
    \left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}-0=-\frac{\pi(-1)^n}{n}.(pois \cos(n\pi)=(-1)^n.)
    • A integral restante:
    \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=0.(pois \sin(n\pi)=0.)
  • Logo
I_n=-\frac{\pi(-1)^n}{n}=\frac{(-1)^{n+1}\pi}{n}.
  • Substituindo em b_n:
b_n=\frac{4}{\pi}I_n=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{n+1}\pi}{n}=4\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 6

Montar a série de Fourier usando os coeficientes calculados.
  • Temos a_0=0, a_n=0 para todo n, e b_n=4(-1)^{n+1}/n.
  • Portanto a série de Fourier de f(x)=2x em [- \pi,\pi] é
2x \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) =4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
  • Uma forma escrita explicitamente é
2x = 4\biggl(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\frac{\sin 4x}{4}+\cdots\biggr)
para x onde a série converge (na prática converge para todo x\in(-\pi,\pi) e para pontos de descontinuidade converge ao médio dos limites laterais; aqui f é contínua em todo [- \pi,\pi] exceto talvez nas extremidades periodizadas).

Resposta

2x=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

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