f(x) é a função que estamos expandindo (aqui f(x)=2x).
\cos(nx) e \sin(nx) são as funções trigonométricas que formam a base ortogonal.
As integrais calculam quanto de cada componente (cosseno ou seno) aparece em f.
Observação útil (paridade): se f for função ímpar (f(-x)=-f(x)), então todos os a_0 e a_n serão zero e só sobram termos senoidais b_n\sin(nx). Se f for par (f(-x)=f(x)), então todos os b_n serão zero. Esta observação simplifica muito os cálculos quando aplicável.
Passo 3
Verificar a paridade de f(x)=2x e calcular a_0.
Checando paridade: \,f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x). Portanto f é ímpar.
Consequência imediata: as integrais de uma função ímpar vezes uma função par (como \cos(nx)) sobre um intervalo simétrico se anulam; as integrais da função ímpar vezes outra função ímpar (como \sin(nx)) são funções pares, e normalmente não se anulam automaticamente.
Calcular a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x\,dx.
Como 2x é ímpar, a integral simétrica é zero. Então
para x onde a série converge (na prática converge para todo x\in(-\pi,\pi) e para pontos de descontinuidade converge ao médio dos limites laterais; aqui f é contínua em todo [- \pi,\pi] exceto talvez nas extremidades periodizadas).