Exercício - Distribuição de Viagens - Método de Fratar

Para fins de planejamento de transportes, uma cidade foi dividida em duas zonas, 1 e 2 , cujas características socioeconômicas (população e emprego) atuais (ano 2022) estão apresentadas na Tabela 1. A Tabela 2 indica o crescimento da população e do número de empregos nos próximos 10 anos em cada uma das zonas.
Conhecendo-se a matriz O/D de viagens atuais, apresentada na Tabela 3 e sabendo-se que os modelos de produção de viagens e atração de viagens são dados pelas equações PV e AV , respectivamente, obtenha a matriz \mathrm{O} / \mathrm{D} para o ano 2032 usando o método de Fratar (fazer 2 iterações).
Table 1: Tabela 1
\captionsetup{labelformat=empty}
Zona População Empregos
1 400 367
2 500 200
Table 2: Tabela 2
\captionsetup{labelformat=empty}
Zona População Empregos
1 30 \% 25 \%
2 20 \% 20 \%
Table 3: Tabela 3
\captionsetup{labelformat=empty}
O/D 1 2
1 400 450
2 800 250
\begin{aligned} & \mathrm{PV}=50+2 \times \text { População } \\\ & \mathrm{AV}=100+3 \times \text { Empregos } \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado pede: obter a matriz O/D de viagens para o ano 2032 usando o método de Fratar, fazendo 2 iterações.
Dados fornecidos (peguei das tabelas do enunciado):
  • População 2022: zona 1 = \,400, zona 2 = \,500.
  • Empregos 2022: zona 1 = \,367, zona 2 = \,200.
  • Crescimentos (próximos 10 anos): população: zona 1 = \,30\%, zona 2 = \,20\%; empregos: zona 1 = \,25\%, zona 2 = \,20\%.
  • Matriz O/D atual (ano 2022) (pego da Tabela 3):
\begin{pmatrix} 400 & 450\\[4pt] 800 & 250 \end{pmatrix}
onde a linha i são origens na zona i e a coluna j são destinos na zona j.
  • Modelos dados:
\mathrm{PV}=50+2\times\text{População},\qquad \mathrm{AV}=100+3\times\text{Empregos}.çã
Objetivo operacional: aplicar Fratar (iniciar com a matriz atual como semente) e fazer 2 iterações completas (cada iteração = ajuste por linhas para as produções e ajuste por colunas para as atrações), apresentando as contas passo a passo e a matriz final.]

Passo 2

Calcular população e empregos em 2032 aplicando os crescimentos:
  • População zona 1: \,400 com 30\% \,400\times(1+0,30)=400\times1{,}30=520.
  • População zona 2: \,500 com 20\% \,500\times1{,}20=600.
  • Empregos zona 1: \,367 com 25\% \,367\times1{,}25=458{,}75.
  • Empregos zona 2: \,200 com 20\% \,200\times1{,}20=240.
(Observe que empregos na zona 1 ficaram com fração; mantemos a fração porque os modelos podem produzir números reais.)

Passo 3

Calcular produções ( \mathrm{PV}) e atrações ( \mathrm{AV}) para 2032 usando as fórmulas dadas. Vou explicar a fórmula: \mathrm{PV} é o total de viagens produzidas na zona (origens). A fórmula dada é \mathrm{PV}=50+2\times\text{População}çã: aqui a constante 50 representa um termo fixo e 2 é o fator por habitante. Analogamente, \mathrm{AV}=100+3\times\text{Empregos} dá as atrações (destinos).
  • Produções:
\mathrm{PV}_1 = 50 + 2\times520 = 50 + 1040 = 1090.
\mathrm{PV}_2 = 50 + 2\times600 = 50 + 1200 = 1250.
Total de produções: \,1090 + 1250 = 2340.
  • Atrações:
\mathrm{AV}_1 = 100 + 3\times458{,}75 = 100 + 1\,376{,}25 = 1\,476{,}25.
\mathrm{AV}_2 = 100 + 3\times240 = 100 + 720 = 820.
Total de atrações: \,1\,476{,}25 + 820 = 2\,296{,}25.
Observação importante (frequente em Fratar): os totais de produções e atrações são diferentes ( 2340 vs 2296{,}25). Para aplicar Fratar de forma coerente precisamos que a soma dos controles de linhas (produções) e a soma dos controles de colunas (atrações) coincidam; caso contrário não é possível conseguir ambos exatamente. A prática usual é escalar um dos vetores de controle para igualar os totais. Vou escalar as atrações para que o total das atrações passe a ser igual ao total das produções (mantendo a proporção entre as zonas de destino). Justifico essa escolha: normalmente as produções (baseadas em população) são tomadas como controle rígido de origem e ajusta-se as atrações proporcionalmente; outra opção seria escalar produções — ambas são válidas, mas escolhi fixar as produções aqui para seguir a lógica: residências geram o total de viagens esperado.

Passo 4

Escalar as atrações para que a soma das atrações seja igual a soma das produções.
Fator de escala:
f=\frac{\text{Total de produções}}{\text{Total de atrações}}=\frac{2340}{2296{,}25}\approx1{,}019061967.çõçõ
Atrações ajustadas:
\widetilde{\mathrm{AV}}_1 = 1{,}019061967\times1\,476{,}25 = 1\,504{,}375.
\widetilde{\mathrm{AV}}_2 = 1{,}019061967\times820 = 835{,}625.
Verificação: 1\,504{,}375 + 835{,}625 = 2\,340 (igual ao total de produções). A partir daqui usaremos como controles: linhas = \mathrm{PV}_1=1090,\\ \mathrm{PV}_2=1250 e colunas = \widetilde{\mathrm{AV}}_1=1504{,}375,\\ \widetilde{\mathrm{AV}}_2=835{,}625.

Passo 5

Matriz semente (O/D 2022) e seus totais de linha e coluna (eu peguei esses valores na Tabela 3):
T^{(0)}=\begin{pmatrix} 400 & 450\\[4pt] 800 & 250 \end{pmatrix}.
Totais por linha (origens):
R_1^{(0)}=400+450=850,\qquad R_2^{(0)}=800+250=1050.
Totais por coluna (destinos):
C_1^{(0)}=400+800=1200,\qquad C_2^{(0)}=450+250=700.
Total geral =1900 (apenas para referência; os controles de 2032 são maiores).
Agora aplicamos Fratar: cada iteração tem duas fases — ajuste por linhas (para as produções) e ajuste por colunas (para as atrações). Vou fazer 2 iterações completas e mostrar as contas.]

Passo 6

Iteração 1 — ajuste por linhas (levando as somas de linha para as produções \mathrm{PV}).
Calculamos os fatores de ajuste por linha:
\lambda_1^{(1)}=\frac{\mathrm{PV}_1}{R_1^{(0)}}=\frac{1090}{850}=1{,}2823529412,
\lambda_2^{(1)}=\frac{\mathrm{PV}_2}{R_2^{(0)}}=\frac{1250}{1050}=1{,}1904761905.
Multiplicamos cada elemento da linha i por \lambda_i^{(1)}. Obtemos a matriz intermediária T^{(1)}:
T^{(1)}= \begin{pmatrix} 400\cdot1{,}2823529412 & 450\cdot1{,}2823529412\\[4pt] 800\cdot1{,}1904761905 & 250\cdot1{,}1904761905 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 512{,}9411764706 & 577{,}0588235294\\[4pt] 952{,}3809523810 & 297{,}6190476190 \end{pmatrix}.
Verificação: somas das linhas são exatamente 1090 e 1250 (arredondadas conforme mostrado).]

Passo 7

Iteração 1 — ajuste por colunas (para as atrações ajustadas \widetilde{\mathrm{AV}}).
Calcular as somas de coluna de T^{(1)}:
C_1^{(1)}=512{,}9411764706+952{,}3809523810=1465{,}3221288516,
C_2^{(1)}=577{,}0588235294+297{,}6190476190=874{,}6778711484.
Fatores de ajuste por coluna:
\mu_1^{(1)}=\frac{\widetilde{\mathrm{AV}}_1}{C_1^{(1)}}=\frac{1504{,}375}{1465{,}3221288516}\approx1{,}0266290745,
\mu_2^{(1)}=\frac{\widetilde{\mathrm{AV}}_2}{C_2^{(1)}}=\frac{835{,}625}{874{,}6778711484}\approx0{,}9553558771.
Multiplicamos cada elemento da coluna j por \mu_j^{(1)}. Assim obtemos T^{(1,\,col)} (após o ajuste de colunas da iteração 1):
T^{(1,\,col)}= \begin{pmatrix} 512{,}9411764706\cdot1{,}0266290745 & 577{,}0588235294\cdot0{,}9553558771\\[6pt] 952{,}3809523810\cdot1{,}0266290745 & 297{,}6190476190\cdot0{,}9553558771 \end{pmatrix}
Calculando (arredondando para 3 casas decimais em cada célula):
T^{(1,\,col)}\approx \begin{pmatrix} 526{,}600 & 551{,}025\\[4pt] 977{,}775 & 284{,}600 \end{pmatrix}.
Verificações rápidas:
  • Colunas somam aos alvos escalados: 526{,}600+977{,}775\approx1\,504{,}375 e 551{,}025+284{,}600\approx835{,}625.
  • Linhas agora são 1077{,}625 e 1262{,}375 — portanto após o ajuste por colunas as linhas já não coincidem com as produções; é por isso que fazemos a segunda iteração.]

Passo 8

Iteração 2 — ajuste por linhas (segunda iteração): trazer as somas de linha de T^{(1,\,col)} de volta às produções \mathrm{PV}.
Somatórios de linha atuais:
R_1^{(1,\,col)}=526{,}600 + 551{,}025 = 1\,077{,}625,
R_2^{(1,\,col)}=977{,}775 + 284{,}600 = 1\,262{,}375.
Fatores de ajuste por linha da 2ª iteração:
\lambda_1^{(2)}=\frac{1090}{1\,077{,}625}\approx1{,}011486,
\lambda_2^{(2)}=\frac{1250}{1\,262{,}375}\approx0{,}990201.
Multiplicamos as linhas por esses fatores para obter T^{(2,\,lin)}:
T^{(2,\,lin)}\approx \begin{pmatrix} 526{,}600\cdot1{,}011486 & 551{,}025\cdot1{,}011486\\[4pt] 977{,}775\cdot0{,}990201 & 284{,}600\cdot0{,}990201 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 532{,}651 & 557{,}364\\[4pt] 968{,}121 & 281{,}838 \end{pmatrix}.
Agora as somas das linhas estão (aproximadamente) exatamente nas produções: 532{,}651+557{,}364\approx1090 e 968{,}121+281{,}838\approx1250.]

Passo 9

Iteração 2 — ajuste por colunas (último ajuste pedido, completa a 2ª iteração).
Somatórios de coluna após o ajuste de linhas da iteração 2:
C_1^{(2,\,lin)}=532{,}651 + 968{,}121 = 1\,500{,}772,
C_2^{(2,\,lin)}=557{,}364 + 281{,}838 = 839{,}202.
Fatores de ajuste por coluna (segunda iteração):
\mu_1^{(2)}=\frac{1\,504{,}375}{1\,500{,}772}\approx1{,}002425,
\mu_2^{(2)}=\frac{835{,}625}{839{,}202}\approx0{,}995733.
Aplicando esses fatores às colunas obtemos a matriz final após 2 iterações completas (arredondando cada célula para 3 casas decimais):
T^{(2,\,col)}= \begin{pmatrix} 532{,}651\cdot1{,}002425 & 557{,}364\cdot0{,}995733\\[4pt] 968{,}121\cdot1{,}002425 & 281{,}838\cdot0{,}995733 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 533{,}942 & 554{,}986\\[4pt] 970{,}433 & 280{,}639 \end{pmatrix}.
Verificações finais aproximadas:
  • Somatórios por coluna: 533{,}942 + 970{,}433 \approx 1\,504{,}375 (atração ajustada da zona 1) e 554{,}986 + 280{,}639 \approx 835{,}625 (atração ajustada da zona 2).
  • Somatórios por linha: 533{,}942 + 554{,}986 \approx 1\,088{,}928 e 970{,}433 + 280{,}639 \approx 1\,251{,}072. Note que, após apenas 2 iterações, as linhas podem não coincidir exatamente com as produções originais por causa do arredondamento numérico e do fato de que Fratar converge aos marginais comuns com sucessivos ajustes; normalmente faria-se mais iterações até convergência. Como o enunciado pediu exatamente 2 iterações, reporto a matriz após esses dois ciclos.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix} 533{,}942 & 554{,}986\\[4pt] 970{,}433 & 280{,}639 \end{pmatrix}]

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