Exercício - Distribuição de Viagens - Método de Fratar
Para fins de planejamento de transportes, uma cidade foi dividida em duas zonas, 1 e 2 , cujas características socioeconômicas (população e emprego) atuais (ano 2022) estão apresentadas na Tabela 1. A Tabela 2 indica o crescimento da população e do número de empregos nos próximos 10 anos em cada uma das zonas.
Conhecendo-se a matriz O/D de viagens atuais, apresentada na Tabela 3 e sabendo-se que os modelos de produção de viagens e atração de viagens são dados pelas equações PV e AV , respectivamente, obtenha a matriz
para o ano 2032 usando o método de Fratar (fazer 2 iterações).
Table 1: Tabela 1\captionsetup{labelformat=empty}
Zona
População
Empregos
1
400
367
2
500
200
Table 2: Tabela 2\captionsetup{labelformat=empty}
Zona
População
Empregos
1
2
Table 3: Tabela 3\captionsetup{labelformat=empty}
O/D
1
2
1
400
450
2
800
250
Table 1: Tabela 1
\captionsetup{labelformat=empty}
Zona | População | Empregos |
1 | 400 | 367 |
2 | 500 | 200 |
Table 2: Tabela 2
\captionsetup{labelformat=empty}
Zona | População | Empregos |
1 |
|
|
2 |
|
|
Table 3: Tabela 3
\captionsetup{labelformat=empty}
O/D | 1 | 2 |
1 | 400 | 450 |
2 | 800 | 250 |
Passo 1
O enunciado pede: obter a matriz O/D de viagens para o ano 2032 usando o método de Fratar, fazendo 2 iterações.
Dados fornecidos (peguei das tabelas do enunciado):
Dados fornecidos (peguei das tabelas do enunciado):
- População 2022: zona 1 =
, zona 2 = . - Empregos 2022: zona 1 =
, zona 2 = . - Crescimentos (próximos 10 anos): população: zona 1 =
, zona 2 = ; empregos: zona 1 = , zona 2 = . - Matriz O/D atual (ano 2022) (pego da Tabela 3):
onde a linha
são origens na zona
e a coluna
são destinos na zona
.
- Modelos dados:
Objetivo operacional: aplicar Fratar (iniciar com a matriz atual como semente) e fazer 2 iterações completas (cada iteração = ajuste por linhas para as produções e ajuste por colunas para as atrações), apresentando as contas passo a passo e a matriz final.]
Passo 2
Calcular população e empregos em 2032 aplicando os crescimentos:
-
População zona 1:
com → . -
População zona 2:
com → . -
Empregos zona 1:
com → . -
Empregos zona 2:
com → .
(Observe que empregos na zona 1 ficaram com fração; mantemos a fração porque os modelos podem produzir números reais.)
Passo 3
Calcular produções (
) e atrações (
) para 2032 usando as fórmulas dadas. Vou explicar a fórmula:
é o total de viagens produzidas na zona (origens). A fórmula dada é
: aqui a constante 50 representa um termo fixo e
é o fator por habitante. Analogamente,
dá as atrações (destinos).
- Produções:
Total de produções:
- Atrações:
Total de atrações:
Observação importante (frequente em Fratar): os totais de produções e atrações são diferentes (
vs
). Para aplicar Fratar de forma coerente precisamos que a soma dos controles de linhas (produções) e a soma dos controles de colunas (atrações) coincidam; caso contrário não é possível conseguir ambos exatamente. A prática usual é escalar um dos vetores de controle para igualar os totais. Vou escalar as atrações para que o total das atrações passe a ser igual ao total das produções (mantendo a proporção entre as zonas de destino). Justifico essa escolha: normalmente as produções (baseadas em população) são tomadas como controle rígido de origem e ajusta-se as atrações proporcionalmente; outra opção seria escalar produções — ambas são válidas, mas escolhi fixar as produções aqui para seguir a lógica: residências geram o total de viagens esperado.
Passo 4
Escalar as atrações para que a soma das atrações seja igual a soma das produções.
Fator de escala:
Atrações ajustadas:
Verificação:
(igual ao total de produções). A partir daqui usaremos como controles: linhas =
e colunas =
.
Passo 5
Matriz semente (O/D 2022) e seus totais de linha e coluna (eu peguei esses valores na Tabela 3):
Totais por linha (origens):
Totais por coluna (destinos):
Total geral
(apenas para referência; os controles de 2032 são maiores).
Agora aplicamos Fratar: cada iteração tem duas fases — ajuste por linhas (para as produções) e ajuste por colunas (para as atrações). Vou fazer 2 iterações completas e mostrar as contas.]
Passo 6
Iteração 1 — ajuste por linhas (levando as somas de linha para as produções
).
Calculamos os fatores de ajuste por linha:
Multiplicamos cada elemento da linha
por
. Obtemos a matriz intermediária
:
Verificação: somas das linhas são exatamente
e
(arredondadas conforme mostrado).]
Passo 7
Iteração 1 — ajuste por colunas (para as atrações ajustadas
).
Calcular as somas de coluna de
:
Fatores de ajuste por coluna:
Multiplicamos cada elemento da coluna
por
. Assim obtemos
(após o ajuste de colunas da iteração 1):
Calculando (arredondando para 3 casas decimais em cada célula):
Verificações rápidas:
- Colunas somam aos alvos escalados:
e . - Linhas agora são
e — portanto após o ajuste por colunas as linhas já não coincidem com as produções; é por isso que fazemos a segunda iteração.]
Passo 8
Iteração 2 — ajuste por linhas (segunda iteração): trazer as somas de linha de
de volta às produções
.
Somatórios de linha atuais:
Fatores de ajuste por linha da 2ª iteração:
Multiplicamos as linhas por esses fatores para obter
:
Agora as somas das linhas estão (aproximadamente) exatamente nas produções:
e
.]
Passo 9
Iteração 2 — ajuste por colunas (último ajuste pedido, completa a 2ª iteração).
Somatórios de coluna após o ajuste de linhas da iteração 2:
Fatores de ajuste por coluna (segunda iteração):
Aplicando esses fatores às colunas obtemos a matriz final após 2 iterações completas (arredondando cada célula para 3 casas decimais):
Verificações finais aproximadas:
- Somatórios por coluna:
(atração ajustada da zona 1) e (atração ajustada da zona 2). - Somatórios por linha:
e . Note que, após apenas 2 iterações, as linhas podem não coincidir exatamente com as produções originais por causa do arredondamento numérico e do fato de que Fratar converge aos marginais comuns com sucessivos ajustes; normalmente faria-se mais iterações até convergência. Como o enunciado pediu exatamente 2 iterações, reporto a matriz após esses dois ciclos.]