Dois carros A e B, movem-se no mesmo sentido. No instante t=0, suas respectivas velocidades são v0 e 3 v0 e suas respectivas acelerações são 2 a e a. Se no instante t=0 o carro A está uma distância D à frente do carro B, determine o(s) instante(s) em que eles estarão lado a lado. Expresse sua(s) resposta(s) em função de v0, a e D.

Passo 1

Beleza, então a gente tem dois carros (A e B) andando no mesmo sentido. No instante inicial (t=0), o carro A já está a uma distância D na frente do B. As velocidades iniciais são x(t)=x(0)+v(0),t+12,a,t^2 para A e para B, e as acelerações são para A e para B.
Conteúdo: Cinemática dos movimentos uniformemente acelerados (MRUV) e resolução de equação do 2º grau.
O que vamos usar:
  1. A fórmula da posição em MRUV:
  1. Montar uma equação quadrática ao igualar as posições de A e B.
  2. Resolver essa equação com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a posição de cada carro:
Para o carro A (com xA(t)=l(xB(0)+Dr)+v0t+tfrac12,(2a),t^2 =D+xB(0)+v0t+a,t^2 ):
xB(t)=xB(0)+3v0t+tfrac12,a,t^2 =xB(0)+3v0t+tfrac a2,t^2
Para o carro B (com origem em ):

Passo 3

Eles ficam lado a lado quando xB(t)-xA(t)=0 ;Longrightarrow; l(3v0t+tfrac a2 t^2r)-l(v0t+at^2+Dr)=0 . Como ambos têm o mesmo 3v0t - v0t ;+; a2 t^2 - a t^2 ;-;D ;=;0 ;Longrightarrow; 2v0t - a2,t^2 - D = 0 , podemos subtrair e cancelar essa referência. Fazendo
4v0t - a,t^2 - 2D = 0 Long<=ftrightarrow a,t^2 - 4v0t + 2D = 0
Organizando os termos:
Multiplicando tudo por 2 para ficar mais limpinho:

Passo 4

Agora usamos a fórmula de Bhaskara para
a,t^2 - 4v0,t + 2D = 0
A gente tem:
De
Então
t = 4v0 pm raiz16v0^2 - 8aD2a

Passo 5

Podemos simplificar a raiz:
raiz16v0^2 - 8aD = 4raiz,v0^2 - tfracaD2,
e dividir numerador e denominador por 2:
t = 4v0 pm 4raiz,v0^2 - tfracaD2,2a = 2a,l[v0 pm raiz,v0^2 - tfracaD2,r]

Resposta

Os instantes em que os carros A e B estarão lado a lado são
boxedt = 2a,l(v0 + raizv0^2 - tfracaD2r) e t = 2a,l(v0 - raizv0^2 - tfracaD2r)

Exercícios relacionados