1. Sejam e constantes com . Determine o(s) intervalo(s) onde é decrescente e o(s) intervalo(s) onde tem concavidade para baixo, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de :
Vamos determinar os pontos críticos de :
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de + - +
Comportamento de crescente decrescente crescente
Calculando a derivada segunda de , temos:
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de - +
Concavidade de para baixo para cima

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^33-(a+b),x^22+a b,x + a^2+b^2,
com a<b, e pede (i) o(s) intervalo(s) em que f é decrescente e (ii) o(s) intervalo(s) em que f é côncava para baixo. Para isso, vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e a derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^33r)-ddxl((a+b),x^22r)+ddx(a b,x) =x^2-(a+b),x+ab

Passo 3

Determinamos as raízes de f'(x):
f'(x)=0Longrightarrow x^2-(a+b)x+ab=0 Longrightarrow (x-a)(x-b)=0,
isto é, x=a ou x=b. Como o coeficiente de x^2 é positivo, f'(x)>0 para x<a e para x>b, e f'(x)<0 para a<x<b. Logo, f é decrescente em
(a,b)

Passo 4

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(x^2-(a+b)x+abr) =2x-(a+b)
A raiz de f''(x)=0 é x=(a+b)/2. Como o coeficiente de x é positivo, temos f''(x)<0 para
x<a+b2
e f''(x)>0 para x>a+b2. Portanto, f é côncava para baixo em
l(-infty,tfraca+b2r)

Resposta

f é decrescente em ;(a,b).
f é côncava para baixo em ;l(-infty,a+b2r).

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