- Sejam
e
constantes com
. Determine o(s) intervalo(s) onde
é decrescente e o(s) intervalo(s) onde
tem concavidade para baixo, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de
:
Vamos determinar os pontos críticos de
:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
+
-
+
Comportamento de
crescente
decrescente
crescente
Calculando a derivada segunda de
, temos:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
-
+
Concavidade de
para baixo
para cima
Intervalo |
|
|
|
Sinal de
|
+ | - | + |
Comportamento de
|
crescente | decrescente | crescente |
Intervalo |
|
|
Sinal de
|
- | + |
Concavidade de
|
para baixo | para cima |
Passo 1
O enunciado dá a função
com
, e pede (i) o(s) intervalo(s) em que
é decrescente e (ii) o(s) intervalo(s) em que
é côncava para baixo. Para isso, vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e a derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Passo 3
Determinamos as raízes de
:
isto é,
ou
. Como o coeficiente de
é positivo,
para
e para
, e
para
. Logo,
é decrescente em
Passo 4
Calculamos a derivada segunda:
A raiz de
é
. Como o coeficiente de
é positivo, temos
para
e
para
. Portanto,
é côncava para baixo em