Exercício 2. Resolva o problema de fronteira:
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace
com as condições mistas
O método será separar variáveis, mas primeiro tiramos uma função simples que satisfaça as condições não homogêneas em
x .
Passo 2
Procuramos uma função
w(x,y) que satisfaça Laplace e as condições em
x :
w(0,y)=y e
wx(pi,y)=0 . Tentamos
A equação
wxx+wyy=0 obriga
B''(y)=0 e
A''(y)=0 , logo
Impor
w(0,y)=C1y+C0=y dá
C1=1,;C0=0 . A condição
wx(pi,y)=D1y+D0=0 para todo
y dá
D1=D0=0 . Assim
Passo 3
Definimos
v(x,y)=u(x,y)-w(x,y)=u(x,y)-y . Então
v satisfaz
e as condições homogêneas em
x :
e em
y :
Passo 4
Usamos separação
v(x,y)=X(x),Y(y) . A equação
X''Y+X Y''=0 dá
As condições em
x são
X(0)=0 ,
X'(pi)=0 . Isso gera autofunções
pois
sin(0)=0 e
Xn'(pi)=muncos(munpi)=0 .
Passo 5
Para cada
mun , a parte em
y satisfaz
Y''-mun^2Y=0 com
Y(0)=0 , então
A série geral é
para corresponder à condição
v(x,pi)=-x .
Passo 6
Expandimos
-x em série de senos
sin(munx) :
com
Calculando
pois
cos(munpi)=0 e
sin(munpi)=(-1)^n-1 . Logo
Portanto
An=alphan .
Passo 7
Substituindo em
v e voltando a
u=v+w , obtemos
sendo
mun=(2n-1)/2 .