Exercício 2. Resolva o problema de fronteira:
l ux x+uy y=0, em D: 0<x<pi, 0<y<pi u(0, y)=y, ux(pi, y)=0 u(x, 0)=0, u(x, pi)=pi-x

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace
uxx+uyy=0em D:;0<x<pi,;0<y<pi
com as condições mistas
u(0,y)=y, ux(pi,y)=0, u(x,0)=0, u(x,pi)=pi-x
O método será separar variáveis, mas primeiro tiramos uma função simples que satisfaça as condições não homogêneas em x.

Passo 2

Procuramos uma função w(x,y) que satisfaça Laplace e as condições em x:
w(0,y)=y e wx(pi,y)=0. Tentamos
w(x,y)=A(y)+B(y),x
A equação wxx+wyy=0 obriga B''(y)=0 e A''(y)=0, logo
A(y)=C1y+C0, B(y)=D1y+D0
Impor w(0,y)=C1y+C0=y C1=1,;C0=0. A condição wx(pi,y)=D1y+D0=0 para todo y D1=D0=0. Assim
w(x,y)=y

Passo 3

Definimos v(x,y)=u(x,y)-w(x,y)=u(x,y)-y. Então v satisfaz
vxx+vyy=0
e as condições homogêneas em x:
v(0,y)=0, vx(pi,y)=0,
e em y:
v(x,0)=0, v(x,pi)=u(x,pi)-pi= (pi-x)-pi=-x

Passo 4

Usamos separação v(x,y)=X(x),Y(y). A equação X''Y+X Y''=0
X''X=-Y''Y=lambda
As condições em x são X(0)=0, X'(pi)=0. Isso gera autofunções
Xn(x)=sin(mun x), mun=2n-12, n=1,2,dots
pois sin(0)=0 e Xn'(pi)=muncos(munpi)=0.

Passo 5

Para cada mun, a parte em y satisfaz Y''-mun^2Y=0 com Y(0)=0, então
Yn(y)=sinh(mun y)
A série geral é
v(x,y)=sumn=1^inftyAn,sin(mun x),sinh(mun y)sinh(munpi),
para corresponder à condição v(x,pi)=-x.

Passo 6

Expandimos -x em série de senos sin(munx):
-x=sumn=1^inftyalphansin(munx),
com
alphan=2piintegral0^pi(-x)sin(munx),dx =-2piintegral0^pixsin(munx),dx
Calculando
integral0^pixsin(munx),dx =l[-xmuncos(munx)+1mun^2sin(munx)r]0^pi =(-1)^,n-1mun^2,
pois cos(munpi)=0 e sin(munpi)=(-1)^n-1. Logo
alphan =-2pi,(-1)^,n-1mun^2 =-2(-1)^,n-1pimun^2
Portanto An=alphan.

Passo 7

Substituindo em v e voltando a u=v+w, obtemos
u(x,y)=y +sumn=1^inftygl[-2(-1)^,n-1pimun^2gr] sin(munx),sinh(mun y)sinh(munpi),
sendo mun=(2n-1)/2.

Resposta

boxed u(x,y) =y -sumn=1^infty2(-1)^,n-1pil(tfrac2n-12r)^2 , sin!l(tfrac2n-12xr), sinh!l(tfrac2n-12yr)sinh!l(tfrac2n-12pir)

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