Aceleração dependente da velocidade
Um corpo se move com
a(v)=-\alpha v^{2}.
a) \mathrm{v}(\mathrm{t}) para \mathrm{v}_{0}=10 \mathrm{~s}.
b) Distância até parar.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração dependente da velocidade:
a(v) = -\alpha v^{2}.
Pede duas coisas:
  • (a) encontrar \mathrm{v}(t) para a condição inicial \mathrm{v}_{0}=10.
  • (b) calcular a distância até parar (ou seja, o deslocamento total até que a velocidade se torne zero).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\alpha é uma constante positiva (implícito pelo sinal negativo na aceleração), e a condição inicial é \mathrm{v}(0)=\mathrm{v}_{0}=10.

Passo 2

Relacionamento fundamental: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Isso significa
a=\frac{d\mathrm{v}}{dt}.
Substituindo a expressão dada para a(v) obtemos a equação diferencial ordinária
\frac{d\mathrm{v}}{dt} = -\alpha \mathrm{v}^{2}.
Método: como a equação separa as variáveis \mathrm{v} e t, usamos separação de variáveis — isto é, colocamos todos os termos com \mathrm{v} de um lado e os termos com t do outro, para então integrar.

Passo 3

Fazendo a separação de variáveis:
\frac{d\mathrm{v}}{\mathrm{v}^{2}} = -\alpha\, dt.
Agora integramos ambos os lados. Lembre que \displaystyle\int \mathrm{v}^{-2}\,d\mathrm{v} = -\mathrm{v}^{-1} + C. Então:
\int \frac{d\mathrm{v}}{\mathrm{v}^{2}} = \int -\alpha\, dt
gera
-\frac{1}{\mathrm{v}} = -\alpha t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolamos 1/\mathrm{v} e aplicamos a condição inicial. Primeiro escrevemos
\frac{1}{\mathrm{v}} = \alpha t + C',
com C'=-C. Usando \mathrm{v}(0)=\mathrm{v}_{0}=10 obtemos
\frac{1}{10} = \alpha\cdot 0 + C' \quad\Rightarrow\quad C'=\frac{1}{10}.
Portanto
\frac{1}{\mathrm{v}(t)} = \alpha t + \frac{1}{10}.
Invertendo para achar \mathrm{v}(t):
\mathrm{v}(t) = \frac{1}{\alpha t + \dfrac{1}{10}}.
Multiplicando numerador e denominador por 10 obtemos a forma mais prática
\mathrm{v}(t) = \frac{10}{1 + 10\alpha t}.
Observação: esta é a velocidade em função do tempo partindo de \mathrm{v}_0=10.

Passo 5

Análise do tempo de parada: para ver se a velocidade chega a zero em tempo finito, tentamos resolver \mathrm{v}(t)=0. Pela expressão obtida \mathrm{v}(t)=\dfrac{10}{1+10\alpha t} a velocidade só chega a zero quando o denominador tende a infinito, ou seja quando t\to\infty. Logo, a velocidade tende a zero quando t\to\infty, mas não zera em tempo finito. Conclusão: o tempo de parada é infinito (a desaceleração é cada vez menor, e a velocidade decai assintoticamente).

Passo 6

Agora calculamos a posição x(t) (ou o deslocamento acumulado) para verificar a distância total percorrida até parar. Temos dx/dt=\mathrm{v}(t), portanto
x(t)-x(0) = \int_{0}^{t} \mathrm{v}(s)\,ds = \int_{0}^{t} \frac{10}{1+10\alpha s}\,ds.
Fazemos a integral. Uma forma simples é ver que a primitiva de \dfrac{1}{1+10\alpha s} é \dfrac{1}{10\alpha}\ln(1+10\alpha s). Assim,
x(t)-x(0) = \frac{10}{10\alpha}\,\ln(1+10\alpha t) = \frac{1}{\alpha}\,\ln(1+10\alpha t).
Se escolhermos x(0)=0 (ponto de referência), então
x(t)=\frac{1}{\alpha}\,\ln(1+10\alpha t).

Passo 7

Agora observamos o limite do deslocamento quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} x(t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{\alpha}\ln(1+10\alpha t) = +\infty,
pois \ln cresce sem limite quando seu argumento tende a infinito. Portanto a distância total percorrida até que a velocidade tenda a zero diverge — é infinita. Intuição física curta: para grandes t temos \mathrm{v}(t)\sim 1/t, e a integral \int (1/t)\,dt cresce como \ln t, que diverge quando extrapolado até infinito.

Resposta

\mathrm{v}(t)=\dfrac{10}{1+10\alpha t}\nInfinita (o deslocamento \;x(t)=\dfrac{1}{\alpha}\ln(1+10\alpha t)\; tende a +\infty quando t\to\infty).

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