Aceleração dependente da velocidade
Um corpo se move com
.
a)
para
.
b) Distância até parar.
a)
b) Distância até parar.
Passo 1
O enunciado dá a aceleração dependente da velocidade:
Pede duas coisas:
- (a) encontrar
para a condição inicial . - (b) calcular a distância até parar (ou seja, o deslocamento total até que a velocidade se torne zero).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
é uma constante positiva (implícito pelo sinal negativo na aceleração), e a condição inicial é
.
Passo 2
Relacionamento fundamental: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Isso significa
Substituindo a expressão dada para
obtemos a equação diferencial ordinária
Método: como a equação separa as variáveis
e
, usamos separação de variáveis — isto é, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, para então integrar.
Passo 3
Fazendo a separação de variáveis:
Agora integramos ambos os lados. Lembre que
. Então:
gera
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolamos
e aplicamos a condição inicial. Primeiro escrevemos
com
. Usando
obtemos
Portanto
Invertendo para achar
:
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos a forma mais prática
Observação: esta é a velocidade em função do tempo partindo de
.
Passo 5
Análise do tempo de parada: para ver se a velocidade chega a zero em tempo finito, tentamos resolver
. Pela expressão obtida
a velocidade só chega a zero quando o denominador tende a infinito, ou seja quando
. Logo, a velocidade tende a zero quando
, mas não zera em tempo finito. Conclusão: o tempo de parada é infinito (a desaceleração é cada vez menor, e a velocidade decai assintoticamente).
Passo 6
Agora calculamos a posição
(ou o deslocamento acumulado) para verificar a distância total percorrida até parar. Temos
, portanto
Fazemos a integral. Uma forma simples é ver que a primitiva de
é
. Assim,
Se escolhermos
(ponto de referência), então
Passo 7
Agora observamos o limite do deslocamento quando
:
pois
cresce sem limite quando seu argumento tende a infinito. Portanto a distância total percorrida até que a velocidade tenda a zero diverge — é infinita. Intuição física curta: para grandes
temos
, e a integral
cresce como
, que diverge quando extrapolado até infinito.