Q.
Dois carros, A e B , se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por
,
e
. A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por
, com
e
. (a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial? (b) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, A e B, que se movem ao longo de uma linha reta. As posições deles em função do tempo estão dadas por:
-
Carro A: $ x_{A}(t) = \alpha t + \beta t^{2} $, onde $ \alpha = 2,60 , m/s $ e $ \beta = 1,20 , m/s^{2} $.
-
Carro B: $ x_{B}(t) = \gamma t^{2} - \delta t^{3} $, onde $ \gamma = 2,80 , m/s^{2} $ e $ \delta = 0,20 , m/s^{3} $.
Vamos resolver duas partes:
(a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial?
(b) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado, além de cálculo de derivadas para encontrar velocidades e acelerações.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): identificar qual carro está à frente no instante inicial.
No instante inicial, $ t = 0 $. Vamos calcular as posições de ambos os carros nesse instante.
Para o Carro A:
Para o Carro B:
Ambos os carros estão no ponto inicial quando $ t = 0 $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar qual carro está à frente logo após começarem a se mover, ou seja, para $ t $ próximo de 0. Para isso, podemos analisar as velocidades iniciais dos carros.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Vamos calcular a velocidade inicial de cada carro.
Para o Carro A:
Em $ t = 0 $:
Para o Carro B:
Em $ t = 0 $:
Isso significa que, logo que começam a se mover, o Carro A já tem uma velocidade inicial, enquanto o Carro B começa do repouso.
Passo 4
Como o Carro A está se movendo com uma velocidade inicial de $ 2,60 , m/s $ e o Carro B está começando do zero, o Carro A vai se afastar mais rapidamente do ponto inicial nos primeiros instantes.
Portanto, logo após saírem do ponto inicial, o Carro A está à frente do Carro B.
Passo 5
Vamos agora resolver a parte (b): encontrar o(s) instante(s) em que os carros A e B possuem a mesma aceleração.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Vamos calcular as acelerações de ambos os carros.
Para o Carro A:
Para o Carro B:
Substituindo os valores:
Passo 6
Queremos encontrar o instante $ t $ em que $ a_{A}(t) = a_{B}(t) $:
Agora, vamos resolver essa equação para $ t $:
Resposta
(a) O Carro A está à frente logo que saem do ponto inicial.
(b) Os carros A e B possuem a mesma aceleração aproximadamente aos $ 2,67 $ segundos.