Q. 1(2,5 pt) Dois carros, A e B , se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por xA(t)=alpha t+beta t^2, com alpha=2,60 m / s e beta=1,20 m / s^2. A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por xB(t)=gamma t^2-de, com gamma=2,80 m / s^2 e de m / s^3. (a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial? (b) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, A e B, que se movem ao longo de uma linha reta. As posições deles em função do tempo estão dadas por:
  • Carro A: $ x_{A}(t) = \alpha t + \beta t^{2} $, onde $ \alpha = 2,60 , m/s $ e $ \beta = 1,20 , m/s^{2} $.
  • Carro B: $ x_{B}(t) = \gamma t^{2} - \delta t^{3} $, onde $ \gamma = 2,80 , m/s^{2} $ e $ \delta = 0,20 , m/s^{3} $.
Vamos resolver duas partes:
(a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial?
(b) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado, além de cálculo de derivadas para encontrar velocidades e acelerações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): identificar qual carro está à frente no instante inicial.
No instante inicial, $ t = 0 $. Vamos calcular as posições de ambos os carros nesse instante.
Para o Carro A:
t = 0
Para o Carro B:
xA(0) = alpha cdot 0 + beta cdot 0^2 = 0 , m
Ambos os carros estão no ponto inicial quando $ t = 0 $.

Passo 3

Agora, precisamos verificar qual carro está à frente logo após começarem a se mover, ou seja, para $ t $ próximo de 0. Para isso, podemos analisar as velocidades iniciais dos carros.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Vamos calcular a velocidade inicial de cada carro.
Para o Carro A:
t
Em $ t = 0 $:
vA(t) = dxAdt = alpha + 2beta t
Para o Carro B:
t = 0
Em $ t = 0 $:
vA(0) = alpha = 2,60 , m/s
Isso significa que, logo que começam a se mover, o Carro A já tem uma velocidade inicial, enquanto o Carro B começa do repouso.

Passo 4

Como o Carro A está se movendo com uma velocidade inicial de $ 2,60 , m/s $ e o Carro B está começando do zero, o Carro A vai se afastar mais rapidamente do ponto inicial nos primeiros instantes.
Portanto, logo após saírem do ponto inicial, o Carro A está à frente do Carro B.

Passo 5

Vamos agora resolver a parte (b): encontrar o(s) instante(s) em que os carros A e B possuem a mesma aceleração.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Vamos calcular as acelerações de ambos os carros.
Para o Carro A:
aA(t) = dvAdt = 2beta = 2 cdot 1,20 = 2,40 , m/s^2
Para o Carro B:
aB(t) = dvBdt = 2gamma - 6de
Substituindo os valores:
aB(t) = 2 cdot 2,80 - 6 cdot 0,20 cdot t = 5,60 - 1,20 t

Passo 6

Queremos encontrar o instante $ t $ em que $ a_{A}(t) = a_{B}(t) $:
t
Agora, vamos resolver essa equação para $ t $:
aA(t) = aB(t)
2,40 = 5,60 - 1,20 t
t
1,20 t = 5,60 - 2,40
1,20 t = 3,20
t = 3,201,20

Resposta

(a) O Carro A está à frente logo que saem do ponto inicial.
(b) Os carros A e B possuem a mesma aceleração aproximadamente aos $ 2,67 $ segundos.

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