Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto, um para o sul com velocidade média de 30 km / h e o outro para o oeste, com velocidade média de 72 km / h. Determine a variação da distância entre os carros 2 horas depois após os carros passarem pelo cruzamento.

Passo 1

Resumindo o enunciado: dois carros partem do mesmo ponto numa encruzilhada, um vai para o sul a 30 km/h e o outro para o oeste a 72 km/h. O que queremos é a taxa de variação da distância que os separa 2 h depois.

Passo 2

Vamos modelar o movimento adotando um sistema de eixos: a componente x(t) mede o deslocamento para o oeste e a y(t) para o sul. Então temos
x(t)=72t
y(t)=30t
visto que ambos saem do ponto (0,0).
A distância entre eles é dada pelo teorema de Pitágoras:
d(t)=raizx(t)^2+y(t)^2
Para achar a taxa dddt, aplicamos derivada implícita usando regra da cadeia e produto:
dddt=x(t),x'(t)+y(t),y'(t)raizx(t)^2+y(t)^2

Passo 3

Agora avaliamos em t=2 h:
x(2)=72cdot2=144, y(2)=30cdot2=60,
x'(t)=72, y'(t)=30,
d(2)=raiz144^2+60^2=raiz20736+3600=raiz24336=156
Substituindo na fórmula da taxa:
dddtg|t=2=144cdot72+60cdot30156=12168156=78

Passo 4

Conclusão: 2 h após a partida, a distância entre os carros aumenta a 78 km/h.

Resposta

78 km/h

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