Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
Passo 1
A função é
com domínio
. O conteúdo é teste da derivada segunda: vamos precisar achar
, resolver
para pontos críticos e depois ver o sinal de
.
Passo 2
Calcular a primeira derivada usando regra da soma e regra da cadeia. Temos
Passo 3
Determinar os pontos críticos impondo
. Isso dá
Passo 4
Calcular a segunda derivada para classificar
. Derivando
temos
$$f’’(x)=-\frac12\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(1-x)^{-3/2}\cdot(-1)
=-\frac{1}{4(1-x)^{3/2}}.$$
Passo 5
Avaliar em
:
Passo 6
logo há um máximo relativo em
. Note que para
temos
(função cresce) e para
fica
(decresce), confirmando o pico.
Passo 7
Como não há ponto interno onde
gerando mínimo e na borda
a derivada tende a
, a função decresce até esse extremo, gerando um mínimo relativo em
.
Valores: e
Valores:
Resposta
Máximo relativo em x=3/4 com f(3/4)=5/4; mínimo relativo no extremo x=1 com f(1)=1.