Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
f(x)=x+raiz1-x

Passo 1

A função é f(x)=x+raiz1-x com domínio f'(x). O conteúdo é teste da derivada segunda: vamos precisar achar f'(x)=0, resolver f''(x) para pontos críticos e depois ver o sinal de .

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando regra da soma e regra da cadeia. Temos
f'(x)=ddxl(xr)+ddxl((1-x)^1/2r) =1+12(1-x)^-1/2cdot(-1) =1-12raiz1-x

Passo 3

Determinar os pontos críticos impondo f'(x)=0. Isso dá
1-12raiz1-x=0 Longrightarrow 2raiz1-x=1 Longrightarrow raiz1-x=tfrac12 Longrightarrow 1-x=tfrac14 Longrightarrow x=tfrac34

Passo 4

Calcular a segunda derivada para classificar x=3/4. Derivando f'(x)=1-tfrac12(1-x)^-1/2 temos
$$f’’(x)=-\frac12\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(1-x)^{-3/2}\cdot(-1)
      =-\frac{1}{4(1-x)^{3/2}}.$$

Passo 5

Avaliar em x=3/4:
f''(3/4)=-14(1/4)^3/2=-2<0,

Passo 6

logo há um máximo relativo em x=3/4. Note que para x<3/4 temos f'(x)>0 (função cresce) e para 3/4 fica f'(x)<0 (decresce), confirmando o pico.

Passo 7

Como não há ponto interno onde f'(x)=0 gerando mínimo e na borda x=1 a derivada tende a -infty, a função decresce até esse extremo, gerando um mínimo relativo em x=1.
Valores: f(3/4)=tfrac34+tfrac12=tfrac54 e f(1)=1

Resposta

Máximo relativo em x=3/4 com f(3/4)=5/4; mínimo relativo no extremo x=1 com f(1)=1.

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