(a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e{x}-1-x-\frac{x{2}}{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular limx to 0 e^x - 1 - x - tfracx^22x^2. O tema é limites usando expansão em série de Taylor de e^x em torno de zero.

Passo 2

Para resolver, vamos usar a série de Taylor de e^x em x=0 até o termo O(x^3). Sabemos que:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots
Essa expansão nos dá os termos relevantes para o nosso limite.

Passo 3

Substituindo essa série no numerador, temos:
e^x - 1 - x - x^22 = l(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + dotsr) - 1 - x - tfracx^22 = x^36 + dots
Aqui cancelamos os termos de grau até x^2, ficando apenas tfracx^36 mais termos de ordem superior.

Passo 4

Então a expressão original vira:
e^x - 1 - x - tfracx^22x^2 = tfracx^36 + dotsx^2 = x6 + dots
Ou seja, o comportamento principal é tfracx6 quando x to 0.

Passo 5

Por fim, ao calcular o limite de tfracx6 quando x to 0, vemos que ele tende a 0. Logo, o limite original também vale 0.

Resposta

0

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