(a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e{x}-1-x-\frac{x{2}}{2}}{x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O tema é limites usando expansão em série de Taylor de
em torno de zero.
Passo 2
Para resolver, vamos usar a série de Taylor de
em
até o termo
. Sabemos que:
Essa expansão nos dá os termos relevantes para o nosso limite.
Passo 3
Substituindo essa série no numerador, temos:
Aqui cancelamos os termos de grau até
, ficando apenas
mais termos de ordem superior.
Passo 4
Então a expressão original vira:
Ou seja, o comportamento principal é
quando
.
Passo 5
Por fim, ao calcular o limite de
quando
, vemos que ele tende a 0. Logo, o limite original também vale 0.
Resposta
0