Seja
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
. Calcule a integral
efetuando a mudança de variável apropriada.
Passo 1
O enunciado define a região
como um paralelogramo limitado pelas retas
,
,
e
, e pede para calcular
. O conteúdo principal é mudança de variável dupla, usando linhas como curvas de nível.
Passo 2
Para simplificar a região e a integral, fazemos a troca de variáveis
Nessas novas variáveis, as retas que definem
viram as retas constantes
,
,
e
. Logo a região
em
-plano é o retângulo
Passo 3
Precisamos expressar
e
em função de
e
. Do sistema
resolvemos:
Passo 4
Agora calculamos o determinante da Jacobiana
Passo 5
A integral original fica
Integramos primeiro em
:
Depois em
:
Resposta
\frac{\ln(9)}{14} = \frac{\ln(3)}{7}