Seja W é o paralelogramo limitado pelas retas x-2 y=0, x-2 y=1,4 x-y=1 e 4 x-y=9. Calcule a integral integral duplaW x-2 y4 x-y d A efetuando a mudança de variável apropriada.

Passo 1

O enunciado define a região W como um paralelogramo limitado pelas retas x-2y=0, x-2y=1, 4x-y=1 e 4x-y=9, e pede para calcular integral duplaW x-2y4x-y,dA. O conteúdo principal é mudança de variável dupla, usando linhas como curvas de nível.

Passo 2

Para simplificar a região e a integral, fazemos a troca de variáveis
u = x-2y, v = 4x - y
Nessas novas variáveis, as retas que definem W viram as retas constantes u=0, u=1, v=1 e v=9. Logo a região W em uv-plano é o retângulo
0 <= u <= 1, 1 <= v <= 9

Passo 3

Precisamos expressar x e y em função de u e v. Do sistema
x - 2y = u, 4x - y = v
resolvemos:
y = v - 4u7, x = 2v - u7

Passo 4

Agora calculamos o determinante da Jacobiana
J = det partial(x,y)partial(u,v) = det -tfrac17 & tfrac27 -tfrac47 & tfrac17 = -17cdot17 - 27cdotl(-47r) = 749 = 17

Passo 5

A integral original fica
integral duplaW x-2y4x-y,dA = integral dupla[0,1]times[1,9] uv cdot 17,du,dv
Integramos primeiro em v:
integralv=1^9 uv,dv = uln(9)
Depois em u:
17 integralu=0^1 uln(9),du = ln(9)7 cdot u^22l|0^1 = ln(9)14

Resposta

\frac{\ln(9)}{14} = \frac{\ln(3)}{7}

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