Dois carros se movem segundo as seguintes vetores posição:
alpha(t)=(1+t, 2+3 t) e beta(t)=(1-t, 3+t^2), t >= 0
Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é essa velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros que se movem de acordo com vetores posição dados por funções do tempo $ t $. A pergunta quer saber em que ponto a velocidade escalar (ou seja, a velocidade em termos de módulo) do segundo carro é mínima e qual é essa velocidade. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente como calcular derivadas de vetores posição para encontrar a velocidade, e então minimizar essa velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função posição do segundo carro, que é $ \beta(t) = (1 - t, 3 + t^2) $. Para encontrar a velocidade vetorial desse carro, precisamos derivar $ \beta(t) $ em relação ao tempo $ t $.
A derivada de um vetor posição nos dá a velocidade vetorial:
beta(t) = (1 - t, 3 + t^2)

Passo 3

Agora que temos a velocidade vetorial $ \mathbf{v}(t) = (-1, 2t) $, queremos encontrar a velocidade escalar, que é o módulo dessa velocidade vetorial. O módulo de um vetor $ (a, b) $ é dado por:
v(t) = (-1, 2t)
Aplicando isso à nossa velocidade:
(a, b)

Passo 4

Para encontrar o valor de $ t $ que minimiza a velocidade escalar $ \sqrt{1 + 4t^2} $, podemos minimizar a função dentro da raiz, já que a raiz é uma função crescente. Então, vamos minimizar:
t
Para encontrar o mínimo, derivamos $ f(t) $ em relação a $ t $ e igualamos a zero:
raiz1 + 4t^2
Igualando a zero:
f(t) = 1 + 4t^2

Passo 5

Agora que encontramos que o mínimo ocorre em $ t = 0 $, vamos verificar qual é esse valor mínimo da velocidade escalar substituindo $ t = 0 $ na expressão da velocidade escalar:
t = 0
Além disso, para encontrar o ponto no espaço onde isso acontece, substituímos $ t = 0 $ na função posição $ \beta(t) $:
t = 0

Resposta

A velocidade escalar do segundo carro é mínima em $ t = 0 $, ocorrendo no ponto $ (1,, 3) $, e essa velocidade mínima é igual a 1 unidade de velocidade.

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