Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
sigma(t)=(sec t, tan t), t in(-pi2, pi2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da curva dada pela equação vetorial sigma(t) = (sec t, tan t), onde t varia entre -pi2 e pi2. Isso envolve conceitos de funções trigonométricas e gráficos paramétricos. Para resolver, vamos entender como sec t e tan t se comportam nesse intervalo e como elas se relacionam para formar o gráfico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são sec t e tan t. A função secante é definida como sec t = 1cos t e a tangente como tan t = sin tcos t. No intervalo t in (-pi2, pi2), o cosseno de t é sempre positivo, então cos t > 0, o que significa que sec t também é positiva e sempre existe nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos relacionar x e y para eliminar o parâmetro t. Temos:
x = sec t
y = tan t
Sabemos que tan t = sin tcos t e sec t = 1cos t. Então, podemos expressar sin t em termos de y e x:
y = sin tcos t = sin t cdot sec t = sin t cdot x
Portanto, sin t = yx.

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1, substituímos sin t e cos t por suas expressões em termos de x e y:
(yx)^2 + (1x)^2 = 1
Simplificando:
y^2x^2 + 1x^2 = 1 implies y^2 + 1x^2 = 1 implies y^2 + 1 = x^2
Então, a relação entre x e y é:
x^2 = y^2 + 1

Passo 5

A equação x^2 = y^2 + 1 representa uma hipérbole. Podemos reescrever essa equação como:
x^2 - y^2 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem, com abertura ao longo do eixo x. Sabemos que para x^2 - y^2 = 1, a hipérbole tem assíntotas nas linhas y = x e y = -x.

Passo 6

Agora, vamos traçar o gráfico da hipérbole x^2 - y^2 = 1. Como o parâmetro t varia de -pi2 a pi2, e sec t é sempre positivo nesse intervalo, estamos considerando apenas a parte da hipérbole onde x > 0. Para indicar a direção em que o parâmetro cresce, adicionamos setas nas áreas onde, conforme t aumenta, o ponto se move ao longo da curva.

Resposta

O gráfico da curva sigma(t) = (sec t, tan t), para t in (-pi2, pi2), é uma hipérbole com abertura para a direita no eixo x. As assíntotas são as linhas y = x e y = -x. As setas no gráfico indicam que, conforme t aumenta de -pi2 para pi2, o ponto se move da parte inferior da hipérbole para a parte superior.

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