Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da curva dada pela equação vetorial
, onde
varia entre
e
. Isso envolve conceitos de funções trigonométricas e gráficos paramétricos. Para resolver, vamos entender como
e
se comportam nesse intervalo e como elas se relacionam para formar o gráfico da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são
e
. A função secante é definida como
e a tangente como
. No intervalo
, o cosseno de
é sempre positivo, então
, o que significa que
também é positiva e sempre existe nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos relacionar
e
para eliminar o parâmetro
. Temos:
Sabemos que
e
. Então, podemos expressar
em termos de
e
:
Portanto,
.
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica
, substituímos
e
por suas expressões em termos de
e
:
Simplificando:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 5
A equação
representa uma hipérbole. Podemos reescrever essa equação como:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem, com abertura ao longo do eixo
. Sabemos que para
, a hipérbole tem assíntotas nas linhas
e
.
Passo 6
Agora, vamos traçar o gráfico da hipérbole
. Como o parâmetro
varia de
a
, e
é sempre positivo nesse intervalo, estamos considerando apenas a parte da hipérbole onde
. Para indicar a direção em que o parâmetro cresce, adicionamos setas nas áreas onde, conforme
aumenta, o ponto se move ao longo da curva.
Resposta
O gráfico da curva
, para
, é uma hipérbole com abertura para a direita no eixo
. As assíntotas são as linhas
e
. As setas no gráfico indicam que, conforme
aumenta de
para
, o ponto se move da parte inferior da hipérbole para a parte superior.