Um fabricante estima que a produção anual de certa fábrica é dada por Q(K, L)=30 K^0,3 L^0,7 unidades, em que K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão de obra em homens-horas.
b) Para aumentar rapidamente a produtividade, o fabricante deve aumentar o investimento ou a mão de obra?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção de Cobb–Douglas Q(K,L)=30K^0,3L^0,7. Vamos ver qual insumo, capital ( K) ou trabalho ( L), tem maior efeito sobre Q para pequenos aumentos — isto é, vamos usar produto marginal e elasticidade.

Passo 2

Para encontrar o produto marginal de cada insumo, derivamos Q em relação a K e L:
partial Qpartial K=30times0,3,K^-0,7L^0,7=9,K^-0,7L^0,7
partial Qpartial L=30times0,7,K^0,3L^-0,3=21,K^0,3L^-0,3

Passo 3

Esses resultados mostram o quanto Q cresce se aumentarmos um pouquinho cada insumo, mas dependem dos níveis de K e L. Em vez disso, como é função de Cobb–Douglas, basta olhar a elasticidade de Q em relação a cada insumo — que é o expoente:
• elasticidade em relação a K: varepsilonK=0,3
• elasticidade em relação a L: varepsilonL=0,7

Passo 4

Como varepsilonL>varepsilonK, um mesmo aumento percentual em L gera mais aumento percentual em Q do que esse aumento em K.

Resposta

Para aumentar mais rapidamente a produção, é melhor aumentar a mão de obra ( L), já que sua elasticidade (0,7) é maior que a do capital (0,3).

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