Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções da EDO dada e determine a solução que satisfaz as condições iniciais.
l y^prime prime-y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1, y1(x)=senh x, y2(x)=cosh x

Passo 1

Temos a EDO y''-y=0 com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, e as funções propostas y1(x)=sinh x e y2(x)=cosh x. O conteúdo é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos verificar que cada yi satisfaz a ODE, construir a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y1 e y2 e verificamos a ODE. Temos
y1'(x)=cosh x, y1''(x)=sinh x,
y2'(x)=sinh x, y2''(x)=cosh x

Passo 3

Logo,
y1''-y1=sinh x-sinh x=0,
y2''-y2=cosh x-cosh x=0,
portanto ambas são soluções da equação.

Passo 4

Como y1 e y2 são independentes, a solução geral é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)=C1sinh x + C2cosh x

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0)=C1sinh0 + C2cosh0 = 0 implies C2=0,
e
y'(x)=C1cosh x + C2sinh x implies y'(0)=C1cosh0 =1 implies C1=1

Resposta

y(x)=sinh x

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