Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
sigma1(t)=(2+t,-2+t^22) e sigma2(t)=(-8+7 t,-1+72 t), t >= 0
Os carros se chocarão? Justifique sua resposta!

Passo 1

Temos dois carros com posições definidas por curvas paramétricas. O objetivo é verificar se existe um tempo t>=0 tal que as duas posições coincidam. Vamos usar o fato de que colisão significa ter ambas as coordenadas ( x e y) iguais no mesmo instante.

Passo 2

Igualamos as coordenadas x de sigma1(t) e sigma2(t):
2 + t = -8 + 7t
Resolvendo essa equação encontramos
2 + t = -8 + 7t 2 + 8 = 7t - t 10 = 6t t = 106 = 53

Passo 3

Agora verificamos as coordenadas y no mesmo instante t=5/3: para o primeiro carro
-2 + t^22 = -2 + 12l(53r)^2 = -2 + 2518 = -1118
e para o segundo carro
-1 + 72t = -1 + 72cdot53 = -1 + 356 = 296

Passo 4

Como -11/18 neq 29/6, as coordenadas y não coincidem no tempo t=5/3. Portanto não há nenhum instante em que ambas as coordenadas x e y sejam iguais simultaneamente.

Resposta

Os carros não se chocam, pois o único valor de t que iguala as coordenadas x não satisfaz a igualdade das coordenadas y.

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