Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
sigma1(t)=(2+t,-2+t^22) e sigma2(t)=(-8+7 t,-1+72 t), t >= 0
As estradas se cruzam? Em quais pontos?

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores posição de carros em função do tempo: sigma1(t1)=(2+t1,,-2+tfract1^22) e sigma2(t2)=(-8+7t2,,-1+tfrac72t2), com t1,t2>=0. Queremos saber se existe algum par (t1,t2) tal que sigma1(t1)=sigma2(t2), ou seja, se as curvas paramétricas se intersectam.

Passo 2

Para que sigma1(t1)=sigma2(t2), devemos igualar componente a componente. Assim, obtemos o sistema:
2 + t1 = -8 + 7t2
-2 + t1^22 = -1 + 72t2

Passo 3

Da primeira equação tiramos 7t2 = t1 + 10. Substituindo na segunda:
-2 + t1^22 = -1 + 12(t1 + 10)

Passo 4

Multiplicando por 2 e simplificando:
t1^2 = 2 + (t1 + 10)
t1^2 - t1 - 12 = 0

Passo 5

Resolvendo t1^2 - t1 -12=0 achamos t1=4 (descartamos t1=-3 pois t1>=0). Então 7t2 = 4+10 =14 leva a t2=2.

Passo 6

Substituindo em sigma1(4) ou sigma2(2) vemos que o ponto de interseção é (6,6).

Resposta

Sim, as estradas se cruzam no ponto (6,6).

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