Calcule
integral0^pi x sen(x)1+cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = integral0^pi x,sen(x)1+cos^2(x),dx
Esse problema envolve técnicas de simetria de integrais e substituição trigonométrica. Vamos usar a transformação xmapstopi - x e depois uma substituição u=cos x.

Passo 2

Definimos
f(x) = x,sen(x)1+cos^2(x),
então
f(pi - x) = (pi - x),sen(x)1+cos^2(x)
Somando-as:
f(x) + f(pi - x) = pi,sen(x)1+cos^2(x)

Passo 3

Integramos de 0 a pi em ambos os lados. Como
integral0^pi f(pi - x),dx = integral0^pi f(x),dx = I, temos
2I = pi integral0^pi sen(x)1+cos^2(x),dx

Passo 4

Chamando
J = integral0^pi sen(x)1+cos^2(x),dx,
fazemos a substituição u = cos(x), logo du = -sen(x),dx. Quando x=0, u=1; e quando x=pi, u=-1. Assim:
J = integral1^-1 -du1+u^2 = integral-1^1 du1+u^2 = l[arctan(u)r]-1^1 = pi2

Passo 5

Substituindo J=pi/2 em 2I = pi J obtemos
2I = pi cdot pi2 = pi^22
e daí
I = pi^24

Resposta

pi^24

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