Seja f(x)=lfloor xrfloor, onde lfloorcdotrfloor é a função maior inteiro. É definida por lfloor xrfloor=0 maior inteiro que é menor que ou igual a x. Por exemplo, lfloor 4rfloor=4,lfloor 4.8rfloor=4,lfloorpirfloor=3, lfloor-12rfloor=-1.
Para quais valores de a existe lim x a|x|+|-x| ? chi mid x in R

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função , que é a função “maior inteiro menor ou igual a )”. O exercício quer saber para quais valores de o limite existe. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam a função piso (floor) e a função valor absoluto perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão |f(x)| + |f(x)| = 2|f(x)| . Sabemos que é igual a , porque o valor absoluto elimina o sinal negativo. Então, a expressão fica:
Assim, precisamos encontrar para quais valores de o limite existe.

Passo 3

Vamos analisar como a função se comporta. A função piso retorna o maior inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo:
Essa função é contínua em todos os pontos que não são inteiros. Ou seja, se não for um número inteiro, a função mantém o mesmo valor perto de .

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando é um número inteiro. Por exemplo, se :
  • Se se aproxima de 3 por valores menores que 3 (por exemplo, 2.9, 2.99, etc.), .
  • Se se aproxima de 3 por valores maiores que 3 (por exemplo, 3.1, 3.01, etc.), .
Ou seja, o limite pelo lado esquerdo ( ) é 2, e pelo lado direito ( ) é 3. Como 2 ≠ 3, o limite não existe nesse ponto.

Passo 5

Voltando à nossa expressão :
  • Se não for inteiro: é constante perto de , então também é constante. Logo, o limite existe e é igual a .
  • Se for inteiro: Como vimos no Passo 4, tem um salto no ponto inteiro . Para que o limite exista, precisaríamos que os valores pela esquerda e pela direita fossem iguais, ou seja, .

Passo 6

Vamos resolver a equação a - 1 = a implies -1 = 0 (Impossível) :
  • Caso 1: -(a - 1) = -a implies -a + 1 = -a implies 1 = 0 (Impossível)
    í
  • Caso 2:
    í
Portanto, não existe nenhum número inteiro que satisfaça . Isso significa que, para números inteiros, o limite nunca existe.

Resposta

O limite existe para todos os números reais que não são inteiros. Ou seja, para todo .

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