Seja
, onde
é a função maior inteiro. É definida por
maior inteiro que é menor que ou igual a
. Por exemplo,
,
.
Para quais valores de
existe
?
Para quais valores de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
, que é a função “maior inteiro menor ou igual a
)”. O exercício quer saber para quais valores de
o limite
existe. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam a função piso (floor) e a função valor absoluto perto do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
é igual a
, porque o valor absoluto elimina o sinal negativo. Então, a expressão fica:
Assim, precisamos encontrar para quais valores de
o limite
existe.
Passo 3
Vamos analisar como a função
se comporta. A função piso retorna o maior inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo:
Essa função é contínua em todos os pontos que não são inteiros. Ou seja, se
não for um número inteiro, a função
mantém o mesmo valor perto de
.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
é um número inteiro. Por exemplo, se
:
- Se
se aproxima de 3 por valores menores que 3 (por exemplo, 2.9, 2.99, etc.), . - Se
se aproxima de 3 por valores maiores que 3 (por exemplo, 3.1, 3.01, etc.), .
Ou seja, o limite pelo lado esquerdo (
) é 2, e pelo lado direito (
) é 3. Como 2 ≠ 3, o limite não existe nesse ponto.
Passo 5
Voltando à nossa expressão
:
-
Se
não for inteiro: é constante perto de , então também é constante. Logo, o limite existe e é igual a . -
Se
for inteiro: Como vimos no Passo 4, tem um salto no ponto inteiro . Para que o limite exista, precisaríamos que os valores pela esquerda e pela direita fossem iguais, ou seja, .
Passo 6
Vamos resolver a equação
:
-
Caso 1:
-
Caso 2:
Portanto, não existe nenhum número inteiro
que satisfaça
. Isso significa que, para números inteiros, o limite
nunca existe.
Resposta
O limite
existe para todos os números reais
que não são inteiros. Ou seja, para todo
.