Uma firma produz com bem q utilizando a seguinte função de produção: Q(L)=12 L^2-120 L^3, em que L denota o número de trabalhadores, com L in[0,200].
Encontre a quantidade de trabalho L que maximiza a quantidade produzida Q(L) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que produz algo usando a função de produção , onde é o número de trabalhadores e varia entre 0 e 200. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos trabalhadores vão fazer a produção ser a maior possível. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a produção atinge seu máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função de produção Q(L) = 12L^2 - 120L^3 em relação a Q'(L) = ddL(12L^2) - ddL(120L^3) = 24L - 320L^2 . A derivada nos dá a taxa de variação da produção conforme aumentamos ou diminuímos o número de trabalhadores. A função é:
Vamos derivar termo a termo:

Passo 3

Agora, para encontrar o valor de 24L - 320L^2 = 0 que maximiza L(24 - 320L) = 0 , vamos igualar a derivada a zero e resolver para :
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Precisamos verificar qual dessas soluções realmente maximiza a produção. Para isso, usamos a segunda derivada:
Q''(L) = ddL(24L - 320L^2) = 24 - 620L = 24 - 310L
Vamos avaliar Q''(160) = 24 - 310 times 160 = 24 - 48 = -24 em :
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que é um ponto de máximo.

Resposta

O número de trabalhadores que maximiza a quantidade produzida é .

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