Uma firma produz com bem
utilizando a seguinte função de produção:
, em que
denota o número de trabalhadores, com
.
Encontre a quantidade de trabalho
que maximiza a quantidade produzida
?
Encontre a quantidade de trabalho
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que produz algo usando a função de produção
, onde
é o número de trabalhadores e varia entre 0 e 200. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos trabalhadores
vão fazer a produção
ser a maior possível. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a produção atinge seu máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função de produção
em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da produção conforme aumentamos ou diminuímos o número de trabalhadores. A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Passo 3
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
-
→ →
Passo 4
Precisamos verificar qual dessas soluções realmente maximiza a produção. Para isso, usamos a segunda derivada:
Vamos avaliar
em
:
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que
é um ponto de máximo.
Resposta
O número de trabalhadores que maximiza a quantidade produzida é
.