1. Use o método explicado em sala de aula para provar que
\frac{d \hat{u}_{\theta}}{d t}=-\hat{u}_{r} \frac{d \theta}{d t}

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\frac{d \hat{u}_{\theta}}{d t} \;=\; -\,\hat{u}_{r}\,\frac{d \theta}{d t}
Isso faz parte da teoria de derivada temporal dos versores em coordenadas polares. Vamos usar a representação desses versores na base cartesiana \{\hat{i},\hat{j}\} e aplicar regra da cadeia.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
\hat{u}_{r} = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}, \qquad \hat{u}_{\theta} = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}.
Aqui \theta = \theta(t), logo ambas as componentes dependem de t via \theta.

Passo 3

Para achar \dfrac{d\hat{u}_{\theta}}{dt}, derivamos
\hat{u}_{\theta}(t) = -\sin\theta(t)\,\hat{i} + \cos\theta(t)\,\hat{j}.
Como \hat{i} e \hat{j} são constantes, só aplicamos produto com função de \theta:
\frac{d\hat{u}_{\theta}}{dt} = -\cos\theta\;\frac{d\theta}{dt}\,\hat{i} \;-\;\sin\theta\;\frac{d\theta}{dt}\,\hat{j}.

Passo 4

Observe que
\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j} = \hat{u}_{r}.
Portanto
\frac{d\hat{u}_{\theta}}{dt} = -\,\frac{d\theta}{dt}\,\bigl(\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}\bigr) = -\,\hat{u}_{r}\,\frac{d\theta}{dt},
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\frac{d \hat{u}_{\theta}}{d t} = -\,\hat{u}_{r}\,\frac{d \theta}{d t}.

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