Dois carros A e B partem de um cruzamento no mesmo instante. O carro A vai para a direção leste à razão de 60 km / h e o carro B vai para a direção sul à razão de 80 km / h. Determine a taxa na qual os dois carros estão se separando 30 min após a partida.

Passo 1

Vamos chamar de x(t) a distância do carro A em relação ao ponto de partida (indo para leste) e de y(t) a distância do carro B (indo para sul). Eles partem do mesmo ponto no instante t=0. O conteúdo aqui é um problema de taxas relacionadas: queremos a taxa de variação da distância s(t) entre eles.

Passo 2

A posição de cada carro obedece
x(t)=60,t, y(t)=80,t
com velocidades dot x=60 e dot y=80 em km/h. A distância entre eles satisfaz
s^2 = x^2 + y^2
Derivando em relação a t,
2,s,dsdt ;=;2,x,dot x ;+;2,y,dot y Longrightarrow dsdt = x,dot x + y,dot ys

Passo 3

Queremos a taxa em t=0,5,h (30 min). Nesse instante,
x = 60cdot0,5 = 30,, y = 80cdot0,5 = 40,
e
s = raiz30^2 + 40^2 = raiz900 + 1600 = raiz2500 = 50 (km)

Passo 4

Substituindo em dsdt = x,dot x + y,dot ys:
dsdt = 30cdot60 + 40cdot8050 = 1800 + 320050 = 500050 =100(km/h)

Resposta

A taxa na qual os carros estão se separando 30 min após a partida é 100,km/h.

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