Os limites abaixo existem?
lim x -1 2 x+1x^2+x.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite
limxto -1 2x+1x^2+x
O conteúdo envolvido é análise de limite em ponto de descontinuidade vertical de função racional. Vamos precisar fatorar o denominador, identificar o tipo de ponto em x=-1 e calcular os limites laterais.

Passo 2

Repare que
x^2 + x = x,(x+1),
portanto a função é
f(x)=2x+1x,(x+1)
e está mal definida em x=0 e x=-1. O ponto x=-1 é ponto de descontinuidade do tipo assíntota vertical, pois o denominador zera ali enquanto o numerador não.

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda, xto -1^-.
Quando x se aproxima de -1 por valores menores, temos
2x+1to 2(-1)+1=-1 (constante negativa),
x<0 e x+1<0, logo x,(x+1)>0 e tende a 0^+.
Assim
2x+1x,(x+1);longrightarrow;negativo0^+=-infty

Passo 4

Agora o limite pela direita, xto -1^+.
Quando x se aproxima de -1 por valores maiores, temos
2x+1to -1 (negativo),
x<0 mas x+1>0, logo x,(x+1)<0 e tende a 0^-.
Portanto
2x+1x,(x+1);longrightarrow;negativo0^-=+infty

Passo 5

Como os limites laterais são
limxto -1^-f(x)=-infty e limxto -1^+f(x)=+infty,
eles não coincidem nem resultam em valor finito. Logo o limite bi-lateral não existe.

Resposta

O limite limxto -12x+1x^2+x não existe.

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