Dois carros
e
percorrem, respectivamente, as estradas
e
, tendo seus movimentos descritos por
No ponto
onde as estradas
e
se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre este ponto
.
Passo 1
O enunciado dá as trajetórias dos dois carros, para
:
A pergunta é: encontrar o ponto
onde as estradas se cruzam — ou seja, o ponto de interseção das curvas descritas por
e
. Dados relevantes: as expressões das duas trajetórias e a condição
.
Passo 2
Para que duas trajetórias paramétricas se intersectem, devem existir parâmetros (uma vez que cada curva tem o seu parâmetro) — vou chamar
o tempo para
e
o tempo para
— tais que as posições coincidam:
Igualdade de vetores significa igualdade componente a componente, isto é, igualar as coordenadas
e as coordenadas
das duas curvas e resolver o sistema resultante para
e
.
Passo 3
Escrevendo as igualdades componente a componente obtemos o sistema
Da primeira equação isolamos
em função de
. Dividindo por
:
Passo 4
Substituímos
na segunda equação:
Simplificando o lado direito:
Colocando tudo no mesmo lado:
Dividindo por
para simplificar:
Passo 5
A equação
é um quadrado perfeito:
logo
Como
, é admissível. Agora retornamos a
:
que também é
, logo admissível.
Passo 6
Agora achamos o ponto
avaliando qualquer uma das trajetórias no respectivo parâmetro encontrado. Usando
com
:
Verificação rápida com
com
:
confirma que ambas dão o mesmo ponto.