Dois carros R_{1} e R_{2} percorrem, respectivamente, as estradas B R-01 e B R-02, tendo seus movimentos descritos por
\sigma_{1}(t)=\left(10 t, 50 t^{2}\right) \quad \text { e } \quad \sigma_{2}(t)=(7 t, 70 t-50), \quad t \geq 0
No ponto P onde as estradas B R-01 e B R-02 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre este ponto P.

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias dos dois carros, para t\ge 0:
\sigma_{1}(t)=\left(10t,\;50t^{2}\right)
\sigma_{2}(t)=\left(7t,\;70t-50\right)
A pergunta é: encontrar o ponto P onde as estradas se cruzam — ou seja, o ponto de interseção das curvas descritas por \sigma_{1} e \sigma_{2}. Dados relevantes: as expressões das duas trajetórias e a condição t\ge 0.

Passo 2

Para que duas trajetórias paramétricas se intersectem, devem existir parâmetros (uma vez que cada curva tem o seu parâmetro) — vou chamar t_{1} o tempo para \sigma_{1} e t_{2} o tempo para \sigma_{2} — tais que as posições coincidam:
\sigma_{1}(t_{1})=\sigma_{2}(t_{2}).
Igualdade de vetores significa igualdade componente a componente, isto é, igualar as coordenadas x e as coordenadas y das duas curvas e resolver o sistema resultante para t_{1} e t_{2}.

Passo 3

Escrevendo as igualdades componente a componente obtemos o sistema
10t_{1}=7t_{2}
50t_{1}^{2}=70t_{2}-50
Da primeira equação isolamos t_{2} em função de t_{1}. Dividindo por 7:
t_{2}=\frac{10}{7}t_{1}.

Passo 4

Substituímos t_{2}=\dfrac{10}{7}t_{1} na segunda equação:
50t_{1}^{2}=70\left(\frac{10}{7}t_{1}\right)-50.
Simplificando o lado direito:
50t_{1}^{2}=100t_{1}-50.
Colocando tudo no mesmo lado:
50t_{1}^{2}-100t_{1}+50=0.
Dividindo por 50 para simplificar:
t_{1}^{2}-2t_{1}+1=0.

Passo 5

A equação \;t_{1}^{2}-2t_{1}+1=0\; é um quadrado perfeito:
(t_{1}-1)^{2}=0,
logo
t_{1}=1.
Como t_{1}=1\ge 0, é admissível. Agora retornamos a t_{2}:
t_{2}=\frac{10}{7}t_{1}=\frac{10}{7}\cdot 1=\frac{10}{7},
que também é \ge 0, logo admissível.

Passo 6

Agora achamos o ponto P avaliando qualquer uma das trajetórias no respectivo parâmetro encontrado. Usando \sigma_{1}(t_{1}) com t_{1}=1:
\sigma_{1}(1)=\left(10\cdot 1,\;50\cdot 1^{2}\right)=\left(10,\;50\right).
Verificação rápida com \sigma_{2}(t_{2}) com t_{2}=\dfrac{10}{7}:
\sigma_{2}\!\left(\frac{10}{7}\right)=\left(7\cdot\frac{10}{7},\;70\cdot\frac{10}{7}-50\right)=\left(10,\;100-50\right)=\left(10,\;50\right),
confirma que ambas dão o mesmo ponto.

Resposta

P=(10,50)

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