O vetor posição de uma partícula em movimento é
sigma(t)=(1-t^21+t^2, 2 t1+t^2)
Esboce a trajetória da partícula. Esta trajetória é conhecida. Qual é o nome dado a ela?

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição σ(t) = l(1 - t^21 + t^2,,2t1 + t^2r). O conteúdo é curvas paramétricas: queremos esboçar a trajetória e reconhecer qual curva isso descreve (ou seja, obter a equação cartesiana).

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, calculamos x^2 + y^2. Em bloco:
x^2 + y^2 = (1 - t^21 + t^2)^2 + (2t1 + t^2)^2 = (1 - t^2)^2 + 4t^2(1 + t^2)^2 = 1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2(1 + t^2)^2 = 1 + 2t^2 + t^4(1 + t^2)^2 = 1

Passo 3

Como x^2 + y^2 = 1, todos os pontos de σ(t) estão na circunferência de raio 1 centrada na origem. À medida que t varia de -∞ a +∞, o ponto percorre toda a circunferência (começando em (1,0) para t=0 e indo no sentido anti-horário).

Passo 4

O esboço é um círculo de centro (0,0) e raio 1. O nome clássico dessa curva é “circunferência unitária” (ou “parametrização racional da circunferência unitária” usando t = tan(θ/2)).

Resposta

A trajetória é a circunferência unitária centrada na origem.

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