Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas B R-01 e B R-02, tendo seus movimentos descritos por
sigma1(t)=(10 t, 50 t^2) e sigma2(t)=(7 t, 70 t-50), com t >= 0
a) No ponto P, onde as estradas se cruzam, está situado um posto de fiscalização de velocidade. Encontre este ponto P.
b) Os dois carros chegam juntos ao ponto P ? Se não, qual deles chega primeiro?
c) Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada brasileira é de 80 km / h, qual dos dois será multado no ponto P ?

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias paramétricas de dois carros R1 e R2:
sigma1(t)=(10t,;50t^2), sigma2(t)=(7t,;70t-50), t>=0
O conteúdo envolve interseção de curvas paramétricas (para achar o ponto P), comparação de tempos de chegada e cálculo de velocidades via derivada (para ver multas).

Passo 2

Para achar o ponto P onde as estradas se cruzam, igualamos coordenadas:
10,t1=7,t2, 50,t1^2=70,t2-50
Da primeira equação vem t2=tfrac107t1. Substituindo na segunda:
50,t1^2 =70cdot107t1-50 =100,t1-50 ;Longrightarrow; 50t1^2-100t1+50=0 ;Longrightarrow; (t1-1)^2=0 ;Longrightarrow; t1=1
Então t2=tfrac107.

Passo 3

O ponto de interseção é
P=sigma1(1)=(10cdot1,;50cdot1^2)=(10,50)

Passo 4

O carro R1 chega em P no tempo t1=1 h, e R2 chega em t2=tfrac107approx1,43 h. Logo, não chegam juntos: R1 chega primeiro.

Passo 5

A velocidade instantânea é a derivada da posição:
v1(t)=(10,;100t), v2(t)=(7,;70)
No instante em que chegam a P:
|v1(1)| =raiz10^2+(100cdot1)^2 =raiz100+10000 =raiz10100approx100,5 km/h,
|v2| =raiz7^2+70^2 =raiz49+4900 =raiz4949approx70,35 km/h
Como o limite é 80 km/h, apenas R1 ultrapassa esse valor e será multado.

Resposta

(a) P=(10,50).
(b) Não; R1 chega primeiro.
(c) Apenas R1 será multado.

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